数学公式立方和公式
立方和公式证明
我们知道：
0次方和的求和公式ΣN^0=N+1
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6
取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那末就有：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
.
于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上这已经证得的三个公式带入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
大功告成!
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
相关推荐
数学公式加权算术平均数公式
数学公式：平行四边形
www.kmf8.com- 数学公式立方和公式
- › 数学公式：判别式
- › 数学公式：等腰三角形的性质定理公式
- › 数学公式：图形与变换的定理与公式
- › 数学公式：正弦定理公式
- › 初二数学公式：三角形定理公式
- › 初二数学公式：全等三角形的判定
- › 初二数学公式：相交线与平行线
- › 初二数学公式：垂线的性质
- › 初二数学公式：韦达定理
- › 数学公式：图形
- › 数学公式：三角形
- › 数学公式：平行四边形
- 在百度中搜索相关文章：数学公式立方和公式
- 在谷歌中搜索相关文章：数学公式立方和公式
- 在soso中搜索相关文章：数学公式立方和公式
- 在搜狗中搜索相关文章：数学公式立方和公式