【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。
2. (2012湖北武汉10分)已知△ABC中，AB= ，AC= ，BC=6.
(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长;
(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点
的三角形为格点三角形.
①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明);
②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需
证明).
【答案】解：(1)①如图A，过点M作MN∥BC交AC于点N，
则△AMN∽△ABC，
∵M为AB中点，∴MN是△ABC 的中位线。
∵BC=6，∴MN=3。
②如图B，过点M作∠AMN=∠ACB交AC于点N，
则△AMN∽△ACB，∴ 。
∵BC=6，AC= ，AM= ，∴ ，解得MN= 。
综上所述，线段MN的长为3或 。
(2)①如图所示：
②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
【考点】网格问题，作图(相似变换)，三角形中位线定理，相似三角形的性质。
【分析】(1)作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长;作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的长。
(2)①A1B1= 为直角三角形斜边的两直角边长为2，4，A1C1= 为直角三角形斜边的两直角边长为4，8。以此，先作B1C1=6，画出△A1B1C1。
②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个。
3. (2012湖北黄石8分)如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太
阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，
公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，
并已知 ， 。如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高(结果精
确到1cm)。
【答案】解：如图所示，过点A作AE∥BC，则 ，且 。
在Rt△ADF中： ，在Rt△EAF中, ，
∴ 。
又∵ ， ， ，
∴ 。
∴ 。
答：支架CD的高约为119cm 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。
4. (2012湖北黄石9分)如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线
B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1.
(1)请你探究： ， 是否成立?
(2)请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问 一定成立
吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=8, ，E为AB上一点且AE=5，CE交其内
角角平分线AD与F.试求 的值.
【答案】解：(1)∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴根据三线合一，得CD=DB。
∴ 。
过点D作DN⊥AB于点H。
∵线段AD为等边△ABC内角平分线，∴C1D=ND。
∵等边△ABC中，B1C1⊥AC，∴∠B1=300。
∴ 。
∴ ， 都成立。
(2)结论仍然成立。证明如下：
如图，ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交 AD的延长线于点G 。
∵∠G=∠CAD=∠BAD，∴BG=AB。
又ΔGBD∽ΔACD ，
∴ ，即 。
∴ 对任意三角形结论仍然成立。
﹙3﹚如图，连接ED。
∵AD为ΔABC的内角角平分线，AC=8, ，
∴由(2)得， 。
又∵AE=5，∴EB=AB-AE= 。∴ 。
∴ 。∴DE∥AC。 ∴ΔDEF∽ΔACF。
∴ 。
5. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分)如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险?(参考数据： )
【答案】解：作BD⊥AC于点D.设BD=x海里，则
在Rt△ABD中， ，∴AD= 。
在Rt△CBD中， ，∴CD=x。
∴AC=AD﹣CD= 。
∵AC=30× =15，∴ =15，解得x≈21.4。
∵21.4海里>15海里。∴货轮继续向北航行没有触礁的危险。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)。
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD和Rt△CBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。
6. (2012湖北恩施8分)新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.
2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去.(见图1)
解决问题
如图2，已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB= 海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，∵AB= ，∠B=60°，
∴AD=AB•sin60°= 。
在Rt△ADC中，AD= ，∠C=45°，
∴AC= AD=140。
∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为 =7小时。
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