4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12 ,半径是6,则它的圆心角是 ▲ 。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n,根据扇形面积公式,得 ,解得n=1200。
18.解答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I) 如图①,若⊙O的直径为8,AB=10,求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②,连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形.求 的值.
【答案】解:(I) 如图①,连接OC,则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB。
∴在△OAB中,由OA=OB,AB=10得 。
∴ 在△RtOAB中, 。
(Ⅱ)如图②,连接OC,则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形,∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。
∴∠A=300。∴ 。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,300角直角三角形的性质。
【分析】(I) 要求OA的长,就要把它放到一个直角三角形内,故作辅助线OC,由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线,从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形,从而得300角的直角三角形OAC,根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α= ▲ 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 ▲ .
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度,此时点N到CD的距离是 ▲ .
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数椐:sin49°= ,cos41°= ,tan37°= .)
【答案】解:思考:90,2。
探究一:30,2。
探究二(1)当PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是MP=OM=4,
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时,弧MP与AB相切,
此时旋转角最大,∠BMO的最大值为90°。
(2)如图4,由探究一可知,
点P是弧MP与CD的切线时,α大到最大,即OP⊥CD,
此时延长PO交AB于点H,
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°,
如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时,MP⊥CD,α达到最小,
连接MP,作HO⊥MP于点H,由垂径定理,得出MH=3。
在Rt△MOH中,MO=4,∴sin∠MOH= 。∴∠MOH=49°。
∵α=2∠MOH,∴α最小为98°。
∴α的取值范围为:98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离,平行线之间的距离,切线的性质,旋转的性质,解直角三角形。
【分析】思考:根据两平行线之间垂线段最短,直接得出答案,当α=90度时,点P到CD的距离最小,
∵MN=8,∴OP=4,∴点P到CD的距离最小值为:6﹣4=2。
探究一:∵以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,
∵MN=8,MO=4,NQ=4,∴最大旋转角∠BMO=30度,点N到CD的距离是 2。
探究二:(1)由已知得出M与P的距离为4,PM⊥AB时,点MP到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2,即可得出∠BMO的最大值。
(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D, .
(1)求证:直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
【答案】(1)证明:连接OB、OP
∵ 且∠D=∠D,∴ △BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥ OP。
∴∠BCO=∠POA ,∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC,∴∠O CB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA, OP=OP, ∴△BOP≌△AOP(SAS)。
∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC, ∴∠PBO=90°。
∴ 直线PB是⊙O的切线 。
(2)由(1)知∠BCO =∠P OA。
设PB ,则BD= ,
又∵PA=PB ,∴AD= 。
又∵ BC∥OP ,∴ 。∴ 。∴ 。 ∴
∴cos∠BCA=co s∠POA= 。
【考点】切线的判定和性质,平行的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP,由 ,且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°。
(2)设PB ,则BD= ,根据切线长定理得到PA=PB ,根据勾股定理得到AD= ,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到 ,则 ,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图,等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两点,⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=23。
(1) 求证:BM是⊙O2的切线;
(2)求 ⌒AM 的长。
【答案】解(1)证明:连结O2B,
∵MO2是⊙O1的直径,∴∠MBO2=90°。
∴BM是⊙O2的切线。
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