点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强.在答案题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论
27. (2012贵州省毕节市，27，16分)如图，直线 1经过点A(-1，0)，直线 2经过点B(3,0), 1、 2均为与 轴交于点C(0, ),抛物线 经过A、B、C三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴依次与 轴交于点D、与 2交于点E、与抛物线交于点F、与 1交于点G。求证：DE=EF=F G;
(3)若 1⊥ 2于 轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。
解析：(1)已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出
抛物线的解析式;
(2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出
其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度.D是对称
轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求;E是对称轴
与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交
点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所
以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出.至此本问解决;
(3)△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论.如解答图所示，在解答过程中，充分注意到△ECG为含30度角的直角三角形，△P1CG为等边三角形，分别利用其几何性质，则本问不难解决.
解答：解(1)依题意，得.
， 解得
∴抛物线的函数表达式是y= x2- x- ;
(2)∵直线l1经过点A(-1，0)，C(0，- )，∴直线l1的函数表达式为y1=- x- .
∵直线l2经过点B(3，0)，C(0- )，∴直线l2的函数表达式为y2= x- .
又∵抛物线的对称轴是x=1，∴点D的坐标为(1，0)，点E的坐标为(1，- )，
点F的坐标为(1，- )，点G的坐标为(1，-2 ).∴DE=EF=FG= ;
(3)P点的坐标为：P1(2，- )，P2(1， ).
理由：分三种情况：
①以G点为圆心，GC长为半径作弧，交抛物线于点C和点P1，连结CP1、GP1，所以GC=GP1.由等腰三角形的三线合一性质(或抛物线的对称性)可知点P1与点C关于直线x=1对称，所以点P1的坐标为(2，- );
②以点C为圆心，CG长为半径作弧，因为∠CGF=30°，所以∠CGP1=60°，即△CGP1是等边三角形，又因为AC=CG=2，所以作出的弧与抛物线交于点A和点P1，但A、C、G在同一条直线上，不能组成三角形.
③作线段CG的垂直平分线，因为△CGP1是等边三角形，所以P1点在线段CG的垂直平分线上;连接CF，由于l1⊥l2于点C，F是EG的中点，所以FC=FG，即F点也在线段CG的垂直平分线上，所以P2点与F点重合，即P2点的坐标是(1，- ).综上所述，点P的坐标是P1(2，- )，P2(1，- ).
点评：作为中考压轴题，本题考查的知识点比较多，包括二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数、一次函数)解析式、等腰三角形、等边三角形以及勾股定理等.难点在于第(3)问，需要针对等腰三角形△PCG的三种可能情况分别进行讨论，在解题过程中，需要充分挖掘并利用题意隐含的条件(例如直角三角形、等边三角形)，这样可以简化解答过程.
29.(2012江苏苏州，29，12分)如图，已知抛物线y= x2﹣ (b+1)x+ (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为 (b，0) ，点C的坐标为 (0， ) (用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在，求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.
分析： (1)令y=0，即y= x2﹣ (b+1)x+ =0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标;
(2)存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.设点P的坐标为(x，y)，连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标;
(3)存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴;
要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°;再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可.
解答： 解：(1)令y=0，即y= x2﹣ (b+1)x+ =0，
解得：x=1或b，
∵b是实数且b>2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为(b，0)，
令x=0，
解得：y= ，
∴点C的坐标为(0， )，
故答案为：(b，0)，(0， );
(2)存在，
假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.
设点P的坐标为(x，y)，连接OP.
则S四边形POCB=S△PCO+S△POB= • •x+ •b•y=2b，
∴x+4y=16.
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.
∴四边形PEOD是矩形.
∴∠EPO=90°.
∴∠EPC=∠DPB.
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y.
由 解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ﹣ =b﹣ ，
解得b= >2符合题意.
∴P的坐标为( ， );
(3)假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB>∠AOQ，∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴.
∵b>2，
∴AB>OA，
∴∠Q0A>∠ABQ.
∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴.
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