(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形。
(4)设CE=1，由 ，得CD=CB=
在Rt△CED中，由勾股定理，得 。
∴ 。
2.(内蒙古呼和浩特7分)如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.
(1)求证：EG=CF;
(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系.
【答案】解：(1)证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，即△BEG为等腰直角三角形。∴∠AGE=180°﹣45°=135°。
又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°。∴∠AGE=∠ECF。
∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF。
∴△AGE≌△ECF(ASA)。
∴EG=CF。
(2)画图如图所示：
旋转后CF与EG平行。
【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，旋转的性质，平行的判定。
【分析】(1)G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，可证△AGE≌△ECF，从而得出结论。
(2)旋转后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根据内错角相等，两直线平行，可判断旋转后CF与EG平行。
3.(内蒙古呼伦贝尔8分)如图,四边形ABCD中，对角
线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC
的中点。
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形?并证明你的结论。
【答案】解:(1)证明：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点
∴EF∥AB ，EF= ，
GH∥AB ， GH= AB ，
∴EF∥GH ，EF=GH。
∴EFGH是平行四边形。
(2)当四边形ABCD满足AB=DC时， EFGH是菱形。证明如下：
∵ AB=DC， ∴EF=EH。
又∵ 四边形EFGH是平行四边形， ∴EFGH是菱形 。
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定。
【分析】(1)根据三角形中位线平行且等于第三边一半的性质，可得四边形EFGH的对边EF和GH平行且相等，从而根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证。
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定可证。
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