(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形,然后证明四边形CEFK为平行四边形。
(4)设CE=1,由 ,得CD=CB=
在Rt△CED中,由勾股定理,得 。
∴ 。
2.(内蒙古呼和浩特7分)如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF=90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG.
(1)求证:EG=CF;
(2)将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF与EG的位置关系.
【答案】解:(1)证明:∵正方形ABCD,点G,E为边AB、BC中点,
∴AG=EC,即△BEG为等腰直角三角形。∴∠AGE=180°﹣45°=135°。
又∵CF为正方形外角平分线,∴∠ECF=90°+45°=135°。∴∠AGE=∠ECF。
∵∠AEF=90°,∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF。
∴△AGE≌△ECF(ASA)。
∴EG=CF。
(2)画图如图所示:
旋转后CF与EG平行。
【考点】正方形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角的关系,旋转的性质,平行的判定。
【分析】(1)G、E分别为AB、BC的中点,由正方形的性质可知AG=EC,△BEG为等腰直角三角形,则∠AGE=180°﹣45°=135°,而∠ECF=90°+45°=135°,得∠AGE=∠ECF,再利用互余关系,得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF,可证△AGE≌△ECF,从而得出结论。
(2)旋转后,∠C′AE=∠CFE=∠GEA,根据内错角相等,两直线平行,可判断旋转后CF与EG平行。
3.(内蒙古呼伦贝尔8分)如图,四边形ABCD中,对角
线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC
的中点。
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是菱形?并证明你的结论。
【答案】解:(1)证明:∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点
∴EF∥AB ,EF= ,
GH∥AB , GH= AB ,
∴EF∥GH ,EF=GH。
∴EFGH是平行四边形。
(2)当四边形ABCD满足AB=DC时, EFGH是菱形。证明如下:
∵ AB=DC, ∴EF=EH。
又∵ 四边形EFGH是平行四边形, ∴EFGH是菱形 。
【考点】三角形中位线定理,平行四边形的判定,菱形的判定。
【分析】(1)根据三角形中位线平行且等于第三边一半的性质,可得四边形EFGH的对边EF和GH平行且相等,从而根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证。
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定可证。
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