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本文题目：高二数学教案：函数的极值与最值
23.函数的极值与最值
一、课前准备：
【自主梳理】
1.若函数f(x)在点x0的附近恒有 (或 )，则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，称点x0为极大值点(或极小值点).
2.求可导函数极值的步骤：
①求导数 ;
②求方程 的根;
③检验 在方程 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值;如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极 值.
3.求可导函数最大值与最小值的步骤：
①求y=f(x)在[a,b]内的极值;
②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
【自我检测】
1.函数 的极大值为 .
2.函数 在 上的最大值为 .
3.若函数 既有极大值又有极小值，则 的取值范围为 .
4.已知函数 ，若对任意 都有 ，则 的取值范围是 .
(说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲)
二、课堂活动：
【例1】填空题：
(1)函数 的极小值是__________.
(2)函数 在区间 上的最小值是________ ;最大值是__________.
(3)若函数 在 处取极值，则实数 = _.
(4)已知函数 在 时有极值0，则 = _.
【例2】设函数 .
(Ⅰ)求 的最小值 ;
(Ⅱ)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【例3】如图6所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起到 的位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积.
(1)求 的表达式;
(2)当 为何值时， 取得最大值?
课堂小结
三、课后作业
1.若 没有极值，则 的取值范围为 .
2.如图是 导数的图象，对于下列四个判断：
① 在[-2，-1]上是增函数;
② 是 的极小值点;
③ 在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数;
④ 是 的极小值点.
其中判断正确的是 .
3.若函数 在(0，1)内有极小值，则 的取值范围为 .
4.函数 ,在x=1时有极值10，则 的值为 .
5.下列关于函数 的判断正确的是 .
①f(x)>0的解集是{x|0
②f(- )是极小值，f( )是极大值;
③f(x)没有最小值，也没有最大值.
6.设函数 在 处取得极值，则 的值为 .
7.已知函数 ( 为常数且 )有极值9，则 的值为 .
8.若函数 在 上的最大值为 ，则 的值为 .
9.设函数 在 及 时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围.
10.已知函数 ,求函数在[1，2]上的最大值.
四、纠错分析
错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析
参考答案：
【自我检测】
1.7 2. 3. 4.
例1：(1)0 (2)1， (3)3 (4)11
例2：解：(Ⅰ) ，
当 时， 取最小值 ，
即 .
(Ⅱ)令 ，
由 得 ， (不合题意，舍去).
当 变化时 ， 的变化情况如下表：
递增 极大值
递减
在 内有最大值 .
在 内恒成立等价于 在 内恒成立，
即等价于 ，
所以 的取值范围为 .
例3：解：(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC， ，
V(x)= ( )
(2) ，所以 时， ，V(x)单调递增; 时 ，V(x)单调递减;因此x=6时，V(x)取得最大值 ;
课后作业
1.[-1，2] 2.②③ 3.0
5.①② 6.1 7.2 8.
9.解：(Ⅰ) ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， .
即
解得 ， .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ，
.
当 时， ;
当 时， ;
当 时， .
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， .
则当 时， 的最大值为 .
因为对于任意的 ，有 恒成立，
所以 ，
解得 或 ，
因此 的取值范围为 .
10.解： ∵ ，∴
令 ,即 ,得 .
∴f(x)在(-∞,0), 上是减函数，在 上是增函数.
①当 ,即 时, 在(1，2)上是减函数,∴ .
②当 ,即 时, 在 上是减函数,
∴ .
③当 ,即 时, 在 上是增函数,
∴ .
综上所述，当 时， 的最大值为 ,
当 时， 的最大值为 ,
当 时， 的最大值为 .
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