(1) 的夹角的大小.
(2)直线A1E与FC所夹角的大小.
19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、DC的中点,求证:D1F⊥平面ADE.
20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.
空间向量及其运算习题解答
1.C 由向量共线定义知.
2.C 设此向量为(x,y),∴ ,∴
3.C
4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.
5. B 当a⊥b时,a•b=0(cos 〈a, b〉=0)
6.C a=(1,2,-2)=- •b ∴a∥b.
7.C |AB|= =3.
8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5),∴8=2bk,3=6k,a=5k,
∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=
9.B ∵a⊥b ∴1•m+5•2-2(m+2)=0. ∴m=6.
10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0),∴a+b=(-5,9,-2).
11.C cos(a•b)= =- .
12.A若 ,则a与b同向或反向,反之不成立.
13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,
∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.
14. cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 .
15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.
16.9 S=|a||b|sin〈a, b〉求得.
17.如图,由AC⊥α,知AC⊥AB.
过D作DD′⊥α,D′为垂足,则∠DBD′=30°,
〈 〉=120°,
∴|CD|2=
=
=b2+a2+b2+2b2cos120°=a2+b2.
∴CD=
点评:本题把线段转化成向量表示,然后利用向量进行运算.
18.如图,建立空间坐标系,则D(0,0,0)、A(2,0,0),B(2,2,0)
、C(0,2,0)、A1(2,0,4)、B1(2,2,4)、C1(0,2,4).
由题设可知E(2,1,0),F(1,2,4).
(1)令 的夹角为θ,
则cosθ= .
∴ 的夹角为π-arccos .
(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos
19.如图所示,不妨设正方体的棱长为1,且设 =i, =j, =k,
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz,
则 =(-1,0,0), =(0, ,-1),
• =(-1,0,0)•(0, ,-1)=0,∴AD⊥D1F.
又 =(0,1, ), =(0, ,-1),
∴ • =(0,1, )•(0, ,-1)= - =0.
∴AE⊥D1F,又AE∩AD=A, ∴D1F⊥平面ADE.
点评:利用向量法解决立体几何问题,首先必须建立适当的坐标系.
20.证明:∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四点共面.
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