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理科高三数学教案：一轮直线和圆的方程总

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8912次
概要： 【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0(θ∈R，θ≠kπ+π2，k∈Z)的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r=22，设圆心到直线的距离为d，则d=1sin2θ+1.因为θ≠π2+kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ<1，所以22r，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C：(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2+y2=1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2-1<|OC|<2+1，所以1所以-322【变式训练2】两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1)，(2，-2)，则
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【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0(θ∈R，θ≠kπ+π2，k∈Z)的位置关系是(　　)

A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

【解析】选A.易知圆的半径r=22，设圆心到直线的距离为d，则d=1sin2θ+1.

因为θ≠π2+kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ<1，

所以22r，所以直线与圆相离.

题型二　圆与圆的位置关系的应用

【例2】如果圆C：(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.

【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2+y2=1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2-1<|OC|<2+1，

所以1

所以-322

【变式训练2】两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为　　　　　.

【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1)，(2，-2)，则过它们圆心的直线方程为x-(-1)2-(-1)=y-1-2-1，即y=-x.

根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.

故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点，即点Q的坐标为(-2，-1).

题型三　圆的弦长、中点弦的问题

【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程;

(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.

【解析】(1)如图，AB=43，D是AB的中点，则AD=23，AC=4，

在Rt△ADC中，可得CD=2.

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y-5=kx，即kx-y+5=0.由点C到直线的距离公式|-2k-6+5|k2+1=2，

得k=34，此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x=0.

所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0. (也可以用弦长公式求解)

(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，

因为CD⊥PD，所以 =0，即(x+2，y-6)•(x，y-5)=0，

化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.

【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，

由 得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.

该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.

【变式训练3】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A.106 B.206 C.306 D.406

【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x-3)2+(y-4)2=25，过点(3,5)的最长弦为AC=10，最短弦为BD=252-12=46，S=12AC•BD=206.

总结提高

1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l=2R2-d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.

2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.

3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.

8.5　直线与圆的综合应用

典例精析

题型一　直线和圆的位置关系的应用

【例1】已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).

(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点;

(2)判断直线l与圆C的位置关系;

(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.

【解析】(1)证明：直线方程可写作x+y-4+m(2x+y-7)=0，

由方程组 可得

所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).

(2)由(3-1)2+(1-2)2=5<5，

故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.

(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.

|AB|=2r2-|CM|2=225-[(3-1)2+(1-2)2]=45，

此时 k=-1kCM，即-2m+1m+1=-1-12=2，

解得m=-34，代入原直线方程，得l的方程为2x-y-5=0.

【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.

【变式训练1】若函数f(x)=-1beax的图象在x=0处的切线l与圆C：x2+y2=1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是(　　)

A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定

【解析】选B.f(x)=-1beax⇒f′(x)=-abeax⇒f′(0)=-ab.

又f(0)=-1b，所以切线l的方程为y+1b=-ab(x-0)，即ax+by+1=0，

由l与圆C：x2+y2=1相离得1a2+b2>1⇒a2+b2<1，即点P(a，b)在圆内，故选B.

题型二　和圆有关的对称问题

【例2】设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称，又满足 • =0.

(1)求m的值;

(2)求直线PQ的方程.

【解析】(1)曲线方程可化为(x+1)2+(y-3)2=9，是圆心为(-1,3)，半径为3的圆.

因为点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

所以圆心(-1,3)在直线x+my+4=0上，代入得m=-1.

(2)因为直线PQ与直线y=x+4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则直线PQ的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0，Δ=4(4-b)2-4×2(b2-6b+1)>0，解得2-32

x1+x2=b-4，x1x2=b2-6b+12，

y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1x2=b2+2b+12，

因为 • =0，所以x1x2+y1y2=0，

即b2-6b+12+b2+2b+12=0，得b=1.

故所求的直线方程为y=-x+1.

【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.

【变式训练2】若曲线x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足①关于直线kx-y+4=0对称;②OP ⊥OQ，则直线PQ的方程为　　　　　　　　　　.

【解析】由①知直线kx-y+4=0过圆心(-12，3)，所以k=2，故kPQ=-12.

设直线PQ的方程为y=-12x+t，与圆的方程联立消去y，

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