所以g(x)在x=1时取得极小值g(1)=2+b，依题意g(1)≤0，所以b≤-2，
所以b的最大值为-2.
(2)f′(x)=ex-1-ax2，
当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex-1-ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex-1，
令h(x)=x2 ，则h′(x)=ex-1(x2+2x)>0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，
所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)=1，所以a≤1;
当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理a≥x2ex-1，
h(x)=x2ex-1在[1,2]上的最大值为h(2)=4e，所以a≥4e.
综上实数a的取值范围为a≤1或a≥4e.
(3)由(1)得a=1，所以f(x)-f′(x)=1x+1x2，因此an+1=1an+1a2n，a1=1，所以a2=2，可得02.用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a3=34，a4=289，结论成立;
②设n=k，k∈N*时结论成立，即02，
则n=k+1时，a2k+3=1a2k+2+1a22k+2<12+12=1，
所以01+1=2.
所以n=k+1时结论也成立，
根据①②可得02恒成立，
所以|an+1-an|≥a2-a1=2-1=1，即|an+1-an|的最小值为1.
总结 提高
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：
设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：
①1∈M;
②若k∈M，则k+1∈M，那么必有M=N*成立.
数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.
从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如“归纳、猜想、证明”是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是“凑形”以便运用归纳假设的条件.
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