答：恰有一个空盒的概率是 .
深化拓展
把n+1个不同的球投入n个不同的盒子(n∈N*).求：
(1)无空盒的概率;(2)恰有一空盒的概率.
解：(1) .
(2) .
【例4】某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：
(1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?
(2)三次内打开的概率是多少?
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少?
解：5把钥匙，逐把试开有A 种等可能的结果.
(1)第三次打开房门的结果有A 种，因此第三次打开房门的概率P(A)= = .
(2)三次内打开房门的结果有3A 种，因此，所求概率P(A)= = .
(3)方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A A 种，从而三次内打开的结果有A -A A 种，所求概率P(A)= = .
方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C A A A 种;三次内恰有2次打开的结果有A A 种.因此，三次内打开的结果有C A A A +A A 种，所求概率
P(A)= = .
特别提示
1.在上例(1)中,读者如何解释下列两种解法的意义.P(A)= = 或P(A)= • • = .
2.仿照1中,你能解例题中的(2)吗?
●闯关训练
夯实基础
1.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为
A. B. C. D.
解析：P= = .
答案：B
2.甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是
A. B. C. D.
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解析：甲、乙二人依次抽一题有C •C 种方法,
而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有C C 种.
∴P= = .
答案：C
3.从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为
A. B. C. D.
解析：从数字1、2、3、4、5中，允许重复地随机抽取3个数字，这三个数字和为9的情况为5、2、2;5、3、1;4、3、2;4、4、1;3、3、3.
∴概率为 = .
答案：D
4.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.(结果用分数表示)
解析：总的排法有A 种.
最先和最后排试点学校的排法有A A 种.
概率为 = .
答案：
5.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
分析：(1)是等可能性事件，求基本事件总数和A包含的基本事件数即可.(2)分类或间接法，先求出对立事件的概率.
解：(1)基本事件总数甲、乙依次抽一题有C C 种，事件A包含的基本事件数为C C ，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为 = .
(2)A包含的基本事件总数分三类：
甲抽到选择题,乙抽到判断题有C C ;
甲抽到选择题,乙也抽到选择题有C C ;
甲抽到判断题,乙抽到选择题有C C .
共C C +C C +C C .
基本事件总数C C ，
∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 = 或P( )= = ，P(A)=1-P( )= .
6.把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求：
(1)每盒各有一个奇数号球的概率;
(2)有一盒全是偶数号球的概率.
解：6个球平均分入三盒有C C C 种等可能的结果.
(1)每盒各有一个奇数号球的结果有A A 种，所求概率P(A)= = .
(2)有一盒全是偶数号球的结果有(C C )•C C ，
所求概率P(A)= = .
培养能力
7.已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：
(1)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率;
(2)A组中至少有两支弱队的概率.
(1)解法一：三支弱队在同一组的概率为
+ = ，
故有一组恰有两支弱队的概率为1- = .
解法二：有一组恰有两支弱队的概率为
+ = .
(2)解法一：A组中至少有两支弱队的概率为 + = .
解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为 .
8.从1，2,…,10这10个数字中有放回地抽取3次，每次抽取一个数字，试求3次抽取中最小数为3的概率.
解：有放回地抽取3次共有103个结果，因最小数为3又可分为：恰有一个3，恰有两个3，恰有三个3.故最小数为3的结果有C •72+C •7+C ,
所求概率P(A)= =0.169.
答：最小数为3的概率为0.169.
探究创新
9.有点难度哟!
将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.
(1)若点P(a,b)落在不等式组 表示的平面区域的事件记为A,求事件A的概率;
(2)若点P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上,且使此事件的概率最大,求m的值.
解：(1)基本事件总数为6×6=36.
当a=1时,b=1,2,3;
当a=2时,b=1,2;
当a=3时,b=1.
共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6个点落在条件区域内,
∴P(A)= = .
(2)当m=7时,(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共有6种,此时P= = 最大.
●思悟小结
求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：
(1)先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.
(2)再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.
(3)应用等可能性事件概率公式P= 计算.
●教师下载中心
教学点睛
1.一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验),又存在着统计规律(对大量重复试验),这是偶然性和必然性的对立统一.
2.随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.
(3)P(A)= 既是等可能性事件的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法.
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