6.定积分
(1)概念
设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a=x0
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
基本的积分公式： =C; = +C(m∈Q， m≠-1); dx=ln +C; = +C; = +C; =sinx+C; =-cosx+C(表中C均为常数)。
(2)定积分的性质
① (k为常数);
② ;
③ (其中a
(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线x=a，x=b(a
如果图形由曲线y1=f1(x)，y2=f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)，及直线x=a，x=b(a
四.典例解析
题型1：导数的概念
例1.已知s= ，(1)计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度;(2)求t=3秒是瞬时速度。
解析：(1) 指时间改变量;
指时间改变量。
。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
(2)从(1)可见某段时间内的平均速度 随 变化而变化， 越小， 越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是 时， 的极限，
V= =
= (6+ =3g=29.4(米/秒)。
例2.求函数y= 的导数。
解析： ，
，
=- 。
点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。
题型2：导数的基本运算
例3.(1)求 的导数;
(2)求 的导数;
(3)求 的导数;
(4)求y= 的导数;
(5)求y= 的导数。
解析：(1) ,
(2)先化简,
(3)先使用三角公式进行化简.
(4)y’= = ;
(5) y= -x+5-
y’=3*(x )'-x'+5'-9 )'=3* -1+0-9*(- ) = 。
点评：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。
例4.写出由下列函数复合而成的函数：
www.kmf8.com
(1)y=cosu,u=1+ (2)y=lnu, u=lnx
解析：(1)y=cos(1+ );
(2)y=ln(lnx)。
点评：通过对y=(3x-2 展开求导及按复合关系求导，直观的得到 = . .给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。
题型3：导数的几何意义
例5.(1)若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为( )
A. B. C. D.
(2)过点(-1，0)作抛物线 的切线，则其中一条切线为( )
(A) (B) (C) (D)
解析：(1)与直线 垂直的直线 为 ，即 在某一点的导数为4，而 ，所以 在(1，1)处导数为4，此点的切线为 ，故选A;
(2) ，设切点坐标为 ，则切线的斜率为2 ，且 ，于是切线方程为 ，因为点(-1，0)在切线上，可解得 =0或-4，代入可验正D正确，选D。
点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。
例6.(1)半径为r的圆的面积S(r)= r2,周长C(r)=2 r，若将r看作(0，+∞)上的变量，则( r2)`=2 r ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，+∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： ○2;○2式可以用语言叙述为： 。
(2)曲线 和 在它们交点处的两条切线与 轴所围成的三角形面积是 。
解析：(1)V球= ，又 故○2式可填 ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”;
(2)曲线 和 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1，它们与 轴所围成的三角形的面积是 。
点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。
题型4：借助导数处理单调性、极值和最值
例7.(1)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1) 0，则必有( )
A.f(0)+f(2)2f(1) B. f(0)+f(2)2f(1)
C.f(0)+f(2)2f(1) D. f(0)+f(2)2f(1)
(2)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
(3)已知函数 。(Ⅰ)设 ，讨论 的单调性;(Ⅱ)若对任意 恒有 ，求 的取值范围。
解析：(1)依题意，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，+)上是增函数;当x1时，f(x)0，f(x)在(-，1)上是减函数，故f(x)当x=1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故选C;
(2)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，函数 在开区间 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。
(3)：(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2-a(1-x)2 e-ax。
(ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x2(1-x)2 e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).为增函数;
(ⅱ)当0
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
x (-∞, -a-2a)
(-a-2a,a-2a) (a-2a,1) (1,+∞)
f '(x) + - + +
f(x) ↗ ↘ ↗ ↗
f(x)在(-∞, -a-2a), (a-2a,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(-a-2a,a-2a)为减函数。
(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1;
(ⅱ)当a>2时, 取x0= 12 a-2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)
(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有1+x1-x >1且e-ax≥1，
得：f(x)= 1+x1-xe-ax≥1+x1-x >1. 综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。
点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。
例8.(1) 在区间 上的最大值是( )
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
(2)设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值。
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