24.(2012湖南湘潭，24，8分)如图， 是边长为 的等边三角形，将 沿直线 向右平移,使 点与 点重合，得到 ，连结 ，交 于 .
(1)猜想 与 的位置关系，并证明你的结论;
(2)求线段 的长.
【解析】用平行四边形和菱形的判断方法和性质进行推理，
将 沿直线 向右平移,CD∥AB，且CD=AB，
则四边形ABCD是平行四边形，又有AB=BC，则四边形ABCD是菱形，
菱形的对角线互相垂直平分。
(2)用勾股定理或三角函数求出等边三角形的高BF= ，由菱形的性质得BD=2BF= 。
【答案】(1)猜想 与 的位置关系是互相垂直平分，证明如:下：
因 是等边三角形，则AB=BC=AC=3，将 沿直线 向右平移后,CD∥AB，且CD=AB，则四边形ABCD是平行四边形，又有AB=BC，则四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的对角线 与 互相垂直平分。
(2)BC=3，CF= ，∠BFC=900，BF= = ，由菱形的性质得BD=2BF= 。
【点评】本题主要考查菱形和平行四边形的性质和判断方法，对角线互相垂直平分，是菱形的性质。
17. (2012安徽，17，8分)在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，
(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 4 7
3 5 7
猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________(不需要证明);
解：
(2)当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，
17：解析：(1)通过题中所给网格图形，先计算出2×5，3×4，对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m、n的关系式.
(2)根据题意，画出当m、n不互质时，结论不成立的反例即可.
解：(1)如表：
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 4 7 6
3 5 7 6
f=m+n-1
(2)当m、n不互质时，上述结论不成立，如图2×4
2×4
点评：本题是操作探究题，根据操作规则得出数据，并归纳总结其中规律，对于错误结论的证明，只要举出反例即可.
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