23.(2012湖北咸宁，23，10分)如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若 ，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且 ， .
理解与作图：
(1)在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.
计算与猜想：
(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?
启发与证明：
(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想.
【解析】(1)根据网格结构，作出相等的角得到反射四边形;
(2)图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后可得周长;图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，得知四边形EFGH的周长是定值;
(3)证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK= MN=8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长;
证法二：利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，再根据角的关系推出∠M=∠HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GK⊥BC于K，根据边的关系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长.
【答案】(1)作图如下： 2分
(2)解：在图2中， ，
∴四边形EFGH的周长为 . 3分
在图3中， ， .
∴四边形EFGH的周长为 . 4分
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值. 5分
(3)如图4，证法一：延长GH交CB的延长线于点N.
∵ ， ，
∴ .
而 ，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM.
∴ ， . 6分
同理： ， .
∴ . 7分
∵ ， ，
∴ . ∴ . 8分
过点G作GK⊥BC于K，则 . 9分
∴ .
∴四边形EFGH的周长为 . 10分
证法二：∵ ， ， ∴ .
而 ， ∴Rt△FCE≌Rt△FCM.
∴ ， . 6分
∵ ， ，
而 ， ∴ .
∴HE∥GF. 同理：GH∥EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴ . 而 ，
∴Rt△FDG≌Rt△HBE. ∴ .
过点G作GK⊥BC于K，则
∴ .
∴四边形EFGH的周长为 .
【点评】本题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键.
25.(2012贵州黔西南州，25，14分)问题：
已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2.
把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2-1=0.
化简，得：y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：
(1)已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数.
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
【解析】按照题目给出的范例，对于(1)的“根相反”，用“y=-x”作替换;对于(2)的“根是倒数”，用“y=1x”作替换，并且注意有“不等于零的实数根”的限制，要进行讨论.
【答案】(1)设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.………………(2分)
把x=-y代入已知方程x2+x-2=0，
得(-y)2+(-y)-2=0.………………(4分)
化简，得：y2-y-2=0.………………(6分)
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，所以x=1y.………………(8分)
把x=1y 代如方程ax2+bx+c=0得.
a(1y)2+b•1y+c=0，………………(10分)
去分母，得，a+by+cy2=0.……………………(12分)
若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意.
∴c≠0，故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).……………………(14分)
【点评】本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法的基础;在实际解题时，还要灵活运用题目提供的方法进行解题，实际上是数学中“转化”思想的运用.
八、(本大题16分)
26.(2012贵州黔西南州，26，16分)如图11，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴.
(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数.请你直接写出点P的坐标.
(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大?若存在，请你求出N的坐标;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)已知抛物线上三点，用“待定系数法”确定解析式;(2)四边形AOMP中，AO=4，OM=3，过A作x轴的平行线交抛物线于P点，这个P点符合要求“四条边的长度为四个连续的正整数”;(3)使△NAC的面积最大，AC确定，需要N点离AC的距离最大，一种方法可以作平行于AC的直线，计算这条直线与抛物线只有一个交点时，这个交点即为N;另一种方法，过AC上任意一点作y轴的平行线交抛物线于N点，这样△NAC被分成两个三角形，建立函数解析式求最大值.
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