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高一数学寒假作业：奇偶性训练题六
10.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1) 1+x1-x;(2)f(x)=x2+x x<0-x2+x x>0.
解：(1)由1+x1-x≥0，得定义域为[-1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数.
(2)当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，
当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=-(-x2+x)=-f(x)，
综上所述，对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
11.判断函数f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.
解：由1-x2≥0得-1≤x≤1.
由|x+2|-2≠0得x≠0且x≠-4.
∴定义域为[-1,0)∪(0,1]，关于原点对称.
∵x∈[-1,0)∪(0,1]时，x+2>0，
∴f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x，
∴f(-x)=1--x2-x=-1-x2x=-f(x)，
∴f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函数.
12.若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.试判断f(x)的奇偶性.
解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，
得f(0+0)=f(0)+f(0)，
∴f(0)=0.
再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，
即f(x)+f(-x)=0，
∴f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数.
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