对于平行四边形对角线的性质,不仅其本身作用较大,而且可以推广到空间,即平行六面体各棱的平方和等于对角线的平方和.
●备课资料
一、教学中“整体思想”解题的应用
[例1]长方体的全面积为11，十二条棱长度之和是24，求这个长方体的一条对角 线长.
分析：要求长方体对角线的长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可.
解：设此长方体的长、宽、高分别是x、y、z,对角线长为l,依题意,得
由②,得x+y+z=6,从而由长方体对角线性质,得
l=
=
= =5.
∴长方体一条对角线的长为5.
评述：本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力.在求解过程中，并不需要把x、y、z单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出x2+y2+z2.这就是数学中常用的一种技巧，给我们比较灵活的感觉.
[例2]直平行六面体的底面是菱形，过不相邻两对侧棱的截面的面积是Q1和Q2，求它的侧面积.
分析：由直棱柱的对角面面积求出底面边长或周长以及侧棱长，从而达到求出侧面积的目的.
解：设直平行六面体AC1的底面边长为a,侧棱长为l.
∵AC1是直平行六面体,
∴对角面ACC1A1和BB1D1D是矩形.
∴Q1=l•AC,Q2=l•BD.
∴AC= ,BD= .
∵底面ABCD是菱形,
∴AC2+BD2=4a2,
即( )2+( )2=4a2.
∴l2•a2= (Q12+Q22),
al= .
∴S侧=4a•l=2 .
评述：以上例题同样采用了整体求法的手段，即没有单独去求a和l的值，而是求出a和l之积，从而简化了解题过程.
二、求棱柱侧面积的方法的应用
[例3]斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b,AA1与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求棱柱的侧面积.
解法一：如图作A1O⊥面ABC于点O，
∵AA1与AB、AC都成45°角，
∴AO是∠BAC的平分线.
又△ABC为正三角形,
∴AO⊥BC.
由三垂线定理可知AA1⊥BC，
又AA1∥BB1∥CC1，
∴四边形BB1C1C为矩形,
S侧=2absin45°+ab=( +1)ab.
解法二：作BM⊥AA1于点M，连结CM，可证得△BMA≌△CMA，
∴CM⊥AA1.
又△BMC是棱柱的直截面,
∵∠MAB=∠MAC=45°,∴CM=BM= a.
∴C直截面= a+ a+a=( +1)a.
∴S侧=( +1)ab.
评述：解法一是采用求各侧面面积之和来求侧面积的;解法二是先作棱柱的直截面，利用直截面周长与侧棱长之积求得侧面积.
[例4]斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10 cm,BC=12 cm,A1到A、B、C三点距离相等，AA1=13 cm,求这个斜三棱柱的全面积.
解：如图，在侧面A1ABB1中作A1D⊥AB于点D，由A1A=A1B,
∴D是AB的中点，那么A1D2=A1A2-AD2=132-52.
∴A1D=12 cm.
∴SA1ABB1=SA1ACC1=A1D•AB=120 cm2.
取BC的中点E，连结A1E、AE.
由已知A1B=A1C，AB=AC,得
A1E⊥BC，AE⊥BC.
∴BC⊥平面A1AE.∴BC⊥A1A.
又A1A∥B1B，∴BC⊥B1B.
∴侧面BB1C1C是矩形.
∴SBB1C1C=BB1•BC=13•12=156 (cm2).
∴S侧=2SA1ABB1+SBB1C1C=2•120+156=396 (cm2).
而AE= =8 (cm),
S底= BC•AE= •12•8=48 (cm),
∴S全=S侧+2S底=396+2•48=492 (cm2).
[例5]斜三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1=20 cm,平面B1A1AB与平面A1C1CA所成的二面角为120°，AA1与BB1、CC1的距离分别为16 cm、24 cm,求此三棱柱的侧面积.
分析：求斜棱柱的侧面积可求各侧面面积之和，也可以求它的截面周长C与侧棱长l的乘积.
解法一：在AA1上取一点E，过E在平面AA1B1B作中GE⊥AA1,交BB1于点G，过E点在平面AA1C1C中作EF⊥AA1，交C1C于点F，则∠GEF为已知二面角的平面角，所以∠GEF=120°.又AA1⊥平面GEF，由棱柱的性质,可得AA1∥B1B∥C1C，
∴BB1⊥平面GEF.又GF 平面GEF，
∴BB1⊥GF.
由题意,知GE=16 cm,EF=24 cm.
∵∠GEF=120°,
在△GEF中，
GF=
=
=8 cm,
又∵S A1ABB1=AA1•GE=20×16=320 (cm2),
S A1ACC1=AA1•EF=20×24=480 (cm2),
S B1BCC1=BB1•GF=20•8 =160 (cm2),
∴S斜棱柱侧=S A1ABB1+S A1ACC1+S B1BCC1
=320+480+160 =160(5+ )(cm2).
解法二：在侧棱A1A上取一点E，过E作AA1的垂面分别交BB1、CC1于点G、F，连结FG，则平面EFG为斜三棱柱ABC—A1B1C1的直截面.
由题意AA1⊥面EFG,
∴AA1⊥EG，AA1⊥EF.
∴∠GEF为已知二面角的平面角.
∴∠GEF=120°,又GE=16 cm,EF=24 cm,
∴在△EFG中，由余弦定理得
FG=
=8 cm.
∴S侧=l•C=20(16+24+8 )
=160(5+ ) (cm2).
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