等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
例3 设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且适合 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形
解析: 设 ,
,
由 得
①
又 代入①式得 ②
由 得 代入②式得:
由 得 或 , 又由①式知 关于 是减函数且
, 且
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
( 且 )
例4 已知抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求 面积的最大值
解: ①设 , AB中点
由 得
又 得
所以 依题意 ,
抛物线方程为
②由 及 ,
令 得
又由 和 得:
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程 联立，解出
直线OP的方程为 即
令 ，得M点纵坐标 得证.
由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.
思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证.
设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 .
又直线OP的方程为 ， ，得 .
因为 在抛物线上，所以 .
从而 .
这一证法运算较小.
思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 .
将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解(x ,y)就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.
说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.
例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.
分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.
解：设AB所在的直线方程为 .
将其代入抛物线方程 ，消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为 .代入抛物线方程得
由 得 ，这时 .它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为 .
例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k.
(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;
(2)求出 的定义域及单调区间.
分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间.
解：(1)设 的方程为： ，将它代入方程 ，得
设 ，则
将 代入 得： ，即P点坐标为 .
由 ，知焦点 ，∴直线 的斜率
∴函数 .
(2)∵ 与抛物线有两上交点，∴ 且
解得 或
∴函数 的定义域为
当 时， 为增函数.
例4 如图所示：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.
证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;直线CD的斜率存在，且不为0.
设C、D的坐标分别为 与 .则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点 在直线l上，
即 ，化简得：
由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.
证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上，∴
由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等.
∵ ，
∴CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.
例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.
分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.
解法一：设
则： ，
， 即
， ①
把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： 显然
代入 化简整理得：
， ②
由①、②得： ，化简得
用x、y分别表示 得：
解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 ，则以OA为直径的圆方程为：
①
设 ，OA⊥OB，则
在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得
②
由①+②得：
例6如图所示，直线 和 相交于点M， ⊥ ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.
- 高三数学教案：抛物线复习
- › 高三数学一轮备考指导及应对策略
- › 2016届高三数学第一轮复习方法
- › 高三数学第一轮复习指导：立体几何
- › 高三数学复习备考注意的五个方面
- › 高三数学复习知识点：轨迹方程的求解
- › 高三数学复习知识点：数列
- › 高三数学复习知识点：不等式
- › 高三数学复习知识点：导数
- › 高三数学复习口诀：立体几何
- › 高三数学复习口诀：平面解析几何
- › 高三数学复习口诀：复数
- › 高三数学复习口诀：不等式和数列
- 在百度中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线复习
- 在谷歌中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线复习
- 在soso中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线复习
- 在搜狗中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线复习