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高三数学教案：抛物线复习

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8164次
概要： A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,∴m= +x1,n= +x2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+ =0,∴∴ == .本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由 得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得y0•yE= ,∴yE= ,∴xE= .同理可得yF= ,∴xF= .∴kEF= (定值).(2)解析：当∠EMF=90°
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A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,

∴m= +x1,n= +x2.

将AB方程代入抛物线方程，得

k2x2-(k2p+2p)x+ =0,

∴

∴ =

= .

本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).

13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.

(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;

(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，

直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).

由 得

ky2-y+y0(1-ky0)=0.

解得y0•yE= ,

∴yE= ,∴xE= .

同理可得yF= ,∴xF= .

∴kEF= (定值).

(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).

设重心G(x,y)，则有

消去参数y0,得y2= (x>0).

14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,-3)、N(5，1)，若点C满足 =t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.

(1)求证： ⊥ ;

(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.

(1)证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= •(x-1),即y=x-4.

由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.

∴x1x2=16，x1+x2=12，

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.

∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .

(2)解析：存在点P(4，0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.

由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，

故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,

∴y1+y2=4k,y1y2=-16.

kOA•kOB= =-1.

∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M(x,y)，

则x= (x1+x2),y= (y1+y2).

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.

∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.

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