典例精析
题型一 三角函数的周期性与奇偶性
【例1】已知函数f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)令g(x)=f(x+π3)，判断g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sin(x2+π3)，
所以f(x)的最小正周期T=2π12=4π.
(2)g(x)=f(x+π3)=2sin[12(x+π3)+π3]=2sin(x2+π2)=2cos x2.
所以g(x)为偶函数.
【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.
【变式训练1】函数y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于( )
A.2π B.π C.π2 D.π3
【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=22(22sin 2x-22cos 2x)+12
=22sin(2x-π4)+12，所以T=2π2=π.故选B.
题型二 求函数的值域
【例2】求下列函数的值域：
(1)f(x)=sin 2xsin x1-cos x;
(2)f(x)=2cos(π3+x)+2cos x.
【解析】(1)f(x)=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x(1-cos2x)1-cos x=2cos2x+2cos x
=2(cos x+12)2-12，
当cos x=1时，f(x)max=4，但cos x≠1，所以f(x)<4，
当cos x=-12时，f(x)min=-12，所以函数的值域为[-12，4).
(2)f(x)=2(cos π3cos x-sin π3sin x)+2cos x
=3cos x-3sin x=23cos(x+π6)，
所以函数的值域为[-23，23].
【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.
【解析】令t=sin x+cos x，则有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.
所以y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1.
又t=sin x+cos x=2sin(x+π4)，所以-2≤t≤2.
故y=f(t)=12(t+1)2-1(-2≤t≤2)，
从而f(-1)≤y≤f(2)，即-1≤y≤2+12.
所以函数的值域为[-1，2+12].
题型三 三角函数的单调 性
【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(φ>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求ω，φ的值;
(2)设g(x)=f(x)f(x-π4)，求函数g(x)的单调递增区间.
【解析】(1)由图可知，T=4(π2-π4)=π，ω=2πT=2.
又由f(π2)=1知，sin(π+φ)=1，又f(0)=-1，所以sin φ=-1.
因为|φ|<π，所以φ=-π2.
(2)f(x)=sin(2x-π2)=-cos 2x.
所以g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x-π2)]=cos 2xsin 2x=12sin 4x.
所以当2kπ-π2≤4x≤2kπ+π2，即kπ2-π8≤x≤kπ2+π8(k∈Z)时g(x)单调递增.
故函数g(x)的单调增区间为[kπ2-π8，kπ2+π8](k∈Z).
【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.
【变式训练3】使函数y=sin(π6-2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A.[0，π3] B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6] D.[5π6，π]
【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.
总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.
5.6 函数y=Asin(ωx+ )的图象和性质
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相;
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到.
【解析】(1)f(x)=sin ωx+3cos ωx=2(12sin ωx+32cos ωx)=2sin(ωx+π3)，
又因为T=π，所以2πω=π，即ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)，
所以函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的振幅为2，初相为π3.
(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.
(3)把y=sin x图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y=sin(x+π3)的图象，再把
y=sin(x+π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+π3)的图象，然后把y=sin(2x+π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin(2x+π3)的图象.
【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)形式，再令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.
【变式训练1】函数
的图象如图所示，则( )
A.k=12，ω=12，φ=π6
B.k=12，ω=12，φ=π3
C.k=12，ω=2，φ=π6
D.k=-2，ω=12，φ=π3
【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k=12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T=4×(8π3-5π3)=4π，故ω=12.将点(5π3，0)代入解析式y=2sin(12x+φ)，得12×5π3+φ=kπ，k∈Z，所以φ=kπ-5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.
题型二 三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)=sin2ωx+3sin ωxsin(ωx+π2)+2cos2ωx，x∈R(ω>0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.
(1)求ω的值;
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
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