【解析】(1)f(x)=32sin 2ωx+12cos 2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32.
令2ωx+π6=π2，将x=π6代入可得ω=1.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+32，经过题设的变化得到函数g(x)=sin(12x-π6)+32，
当x=4kπ+43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.
令2kπ+π2≤12x-π6≤2kπ+32π，
即[4kπ+4π3，4kπ+103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( )
A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4
【解析】将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到y=2sin[3(x-π4)+φ]=2sin(3x-3π4+φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3-3π4+φ)=2sin(π4+φ)=0，
故有π4+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-π4(k∈Z).
当k=0时，|φ|取得最小值π4，故选A.
题型三 三角函数的综合应用
【例3】已知函数y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).
(1)求φ的值;
(2)求f(1)+f(2)+…+f(2 008).
【解析】(1)y=Asin2(ωx+φ)=A2-A2cos(2ωx+2φ)，
因为y=f(x)的最大值为2，又A>0，
所以A2+A2=2，所以A=2，
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，
所以12×2π2ω=2，所以ω=π4.
所以f(x)=22-22cos(π2x+2φ)=1-cos(π2x+2φ)，
因为y=f(x)过点(1,2)，所以cos(π2+2φ)=-1.
所以π2+2φ=2kπ+π(k∈Z)，
解得φ=kπ+π4(k∈Z)，
又因为0<φ<π2，所以φ=π4.
(2)方法一：因为φ=π4，
所以y=1-cos(π2x+π2)=1+sin π2x，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4，
又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.
所以f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.
方法二：因为f(x)=2sin2(π4x+φ)，
所以f(1)+f(3)=2sin2(π4+φ)+2sin2(3π4+φ)=2，
f(2)+f(4)=2sin2(π2+φ)+2sin2(π+φ)=2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.
所以f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.
【点拨】函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ，可得x=kπ-φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.
【变式训练3】已知函数f(x)=Acos2 ωx+2(A>0，ω>0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(20)= .
【解析】f(x)=Acos2ωx+2=A×1+cos 2ωx2+2=Acos 2ωx2+A2+2，则由题意知A+2=6，2π2ω=8，所以A=4，ω=π8，所以f(x)=2cos π4x+4，所以f(2)=4，f(4)=2，f(6)=4，f(8)=6，f(10)=4，…观察周期性规律可知f(2)+f(4)+…+f(20)=2×(4+2+4+6)+4+2=38.
总结提高
1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx+φ=0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx+φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.
3.在解决y=Asin(ωx+φ)的有关性质时，应将ωx+φ视为一个整体x后再与基本函数
y=sin x的性质对应求解.
5.7 正弦定理和余弦定理
典例精析
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB=2，BC=1，cos C=34.
(1)求sin A的值;(2)求 的值.
【解析】(1)由cos C=34得sin C=74.
所以sin A=BC sin CAB=1×742=148.
(2)由(1)知，cos A=528.
所以cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C
=-15232+7232=-24.
所以 • = •( + )= +
=-1+1×2×cos B=-1-12=-32.
【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.
【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a2+b2-c24，则∠C= .
【解析】S=a2+b2-c24=12absin C.
所以sin C=a2+b2-c22ab=cos C.所以tan C=1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C=π4.
题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题
【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A=sin(π3+B)sin(π3-B)+sin2B.
(1)求角A的值;
(2)若 =12，a=27，求b，c(其中b
【解析】(1)因为sin2A=(32cos B+12sin B)(32cos B-12sin B)+sin2B=34cos2 B-14sin2B+sin2B=34，所以sin A=±32.又A为锐角，所以A=π3.
(2)由 =12可得cbcos A=12.①
由( 1)知A=π3，所以cb=24.②
由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A，将a=27及①代入得c2+b2=52.③
③+②×2，得(c+b)2=100，所以c+b=10.
因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根.
又b
【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.
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