x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
【解析】(Ⅰ)焦点F(2，0)，准线 .
(Ⅱ)直线AB：
代入(1)，整理得：
设方程(2)之二根为y1，y2，则 .
设AB中点为
AB的垂直平分线方程是： .
令y=0，则
故
于是|FP|-|FP|cos2a= ，故为定值.
(5)消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：(1) 与抛物线 有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.
【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点
∵线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且
.
设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：
AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：
(6)探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】(07.安徽卷.14题)如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
【解析】∵
设OA上第k个分点为
第k个三角形的面积为：
.
故这些三角形的面积之和的极限
抛物线定义的妙用
对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。
一、求轨迹(或方程)
例1. 已知动点M的坐标满足方程 ，则动点M的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
解：由题意得：
即动点 到直线 的距离等于它到原点(0，0)的距离
由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点(0，0)为焦点，以直线 为准线的抛物线。
故选C。
二、求参数的值
例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点距离为5，求m的值。
解：设抛物线方程为 ，准线方程：
∵点M到焦点距离与到准线距离相等
解得：
∴抛物线方程为
把 代入得：
三、求角
例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，则 __________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
图1
解：如图1，由抛物线的定义知：
则
由题意知：
即
故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若 ， 。求△OPQ的面积。
解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点
图2
则由抛物线定义知：
又 ，则
由 得：
即
又PQ为过焦点的弦，所以
则
所以，
点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。
五、求最值
例5. 设P是抛物线 上的一个动点。
(1)求点P到点A(-1，1)的距离与点P到直线 的距离之和的最小值;
(2)若B(3，2)，求 的最小值。
解：(1)如图3，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是
由抛物线的定义知：点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离。
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小。
显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为 ，即为 。
图3
(2)如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，则
，则有
即 的最小值为4
图4
点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。
六、证明
例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。
证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直 于H。
图5
由抛物线的定义有：
∵ABDC是直角梯形
即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。
抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)。点C(0，5)、点D(1，8)在抛物线上，M为抛物线的顶点。
图1
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积。
解：(1)设抛物线的解析式为
，根据题意得
，解得
∴所求的抛物线的解析式为
(2)∵C点坐标为(0，5)，∴OC=5
令 ，则 ，
解得
∴B点坐标为(5，0)，OB=5
∵ ，
∴顶点M的坐标为(2，9)
过点M作MN⊥AB于点N，
则ON=2，MN=9
∴
例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
图2
(1)求出这个二次函数的解析式和对称轴。
(2)在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA=PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。
解：(1)∵等腰直角△OAB的面积为18，
∴OA=OB=6
∵M是斜边OB的中点，
∴
∴点A的坐标为(6，0)
点M的坐标为(3，3)
∵抛物线
∴ ，解得
- 高三数学教案：抛物线经典例题讲解
- › 高三数学一轮备考指导及应对策略
- › 2016届高三数学第一轮复习方法
- › 高三数学第一轮复习指导：立体几何
- › 高三数学复习备考注意的五个方面
- › 高三数学复习知识点：轨迹方程的求解
- › 高三数学复习知识点：数列
- › 高三数学复习知识点：不等式
- › 高三数学复习知识点：导数
- › 高三数学复习口诀：立体几何
- › 高三数学复习口诀：平面解析几何
- › 高三数学复习口诀：复数
- › 高三数学复习口诀：不等式和数列
- 在百度中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线经典例题讲解
- 在谷歌中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线经典例题讲解
- 在soso中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线经典例题讲解
- 在搜狗中搜索相关文章：高三数学教案：抛物线经典例题讲解