②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.
③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ-4π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z}.
【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.
【变式训练3】函数y=lg sin x+cos x-12的定义域为 .
【解析】
⇒2kπ
所以函数的定义域为{x|2kπ
总结提高
1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.
2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k•360°+π3的错误书写.
3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.
5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
典例精析
题型一 三角函数式的化简问题
【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.
【变式训练1】已知f(x)=1-x，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)= .
【解析】f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)=1-sin 2θ+1+sin 2θ=(sin θ-cos θ)2+(sin θ+cos θ)2=|sin θ-cos θ|+|sin θ+cos θ|.
因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ-cos θ>0，sin θ+cos θ<0.
所以|sin θ-cos θ|+|sin θ+cos θ|=sin θ-cos θ-sin θ-cos θ=-2cos θ.
题型二 三角函数式的求值问题
【例2】已知向量a=(sin θ，cos θ-2sin θ)，b=(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值;
(2)若|a|=|b|，0<θ<π，求 θ的值.
【解析】(1)因为a∥b，所以2sin θ=cos θ-2sin θ，
于是4sin θ=cos θ，故tan θ=14.
(2)由|a|=|b|知，sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5，
所以1-2sin 2θ+4sin2θ=5.
从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4，即sin 2θ+cos 2θ=-1，
于是sin(2θ+π4)=-22.
又由0<θ<π知，π4<2θ+π4<9π4，
所以2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4.
因此θ=π2或θ=3π4.
【变式训练2】已知tan α=12，则2sin αcos α+cos2α等于( )
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式=2sin αcos α+cos2αsin2α+cos2α=2tan α+11+tan2α=85.故选B.
题型三 三角函数式的简单应用问题
【例3】已知-π2
(1)sin x-cos x的值;
(2)sin3(π2-x)+cos3(π2+x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x=-2425，且sin x<0
所以sin x-cos x=-(sin x-cos x)2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75.
(2)sin3(π2-x)+cos3(π2+x)=cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x)
=75×(1-1225)=91125.
【点拨】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x取值符号.
【变式训练3】化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.
【解析】原式=1-[(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α]1-[(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α-sin2αcos2α)]
=2sin2αcos2α1-[(cos2α+sin2α)2-3sin2αcos2α]=23.
总结提高
1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(-2α)+cos2(-2α)=1是恒成立的.
2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.
5.3 两角和与差、二倍角的三角函数
典例精析
题型一 三角函数式的化简
【例1】化简 (0<θ<π).
【解析】因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，
所以原式=
= =-cos θ.
【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2-cos2θ2=-cos θ.
【变式训练1】化简2cos4x-2cos2x+122tan(π4-x)sin2(π4+x).
【解析】原式=12(2cos2x-1)22tan(π4-x)cos2(π4-x)=cos22x4cos(π4-x)sin(π4-x)=cos22x2sin(π2-2x)=12cos 2x.
题型二 三角函数式的求值
【例2】已知sin x2-2cos x2=0.
(1)求tan x的值;
(2)求cos 2x2cos(π4+x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2-2cos x2=0⇒tan x2=2，所以tan x= =2×21-22=-43.
(2)原式=cos2x-sin2x2(22cos x-22sin x)sin x
=(cos x-sin x)(cos x+sin x)(cos x-sin x)sin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=(-34)+1=14.
【变式训练2】2cos 5°-sin 25°sin 65°= .
【解析】原式=2cos(30°-25°)-sin 25°cos 25°=3cos 25°cos 25°=3.
题型三 已知三角函数值求解
【例3】已知tan(α-β)=12，tan β=-17，且α，β∈(0，π)，求2α-β的值.
【解析】因为tan 2(α-β)=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=43，
所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=tan2(α-β)+tan β1-tan 2(α-β)tan β=1，
又tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tan β1-tan(α-β)tan β=13，
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