【例2】已知函数f(x)=sin2ωx+3sin ωxsin(ωx+π2)+2cos2ωx，x∈R(ω>0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.
(1)求ω的值;
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
【解析】(1)f(x)=32sin 2ωx+12cos 2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32.
令2ωx+π6=π2，将x=π6代入可得ω=1.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+32，经过题设的变化得到函数g(x)=sin(12x-π6)+32，
当x=4kπ+43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.
令2kπ+π2≤12x-π6≤2kπ+32π，
即[4kπ+4π3，4kπ+103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( )
A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4
【解析】将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位后得到y=2sin[3(x-π4)+φ]=2sin(3x-3π4+φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3-3π4+φ)=2sin(π4+φ)=0，
故有π4+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-π4(k∈Z).
当k=0时，|φ|取得最小值π4，故选A.
题型三 三角函数的综合应用
【例3】已知函数y=f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).
(1)求φ的值;
(2)求f(1)+f(2)+…+f(2 008).
【解析】(1)y=Asin2(ωx+φ)=A2-A2cos(2ωx+2φ)，
因为y=f(x)的最大值为2，又A>0，
所以A2+A2=2，所以A=2，
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，
所以12×2π2ω=2，所以ω=π4.
所以f(x)=22-22cos(π2x+2φ)=1-cos(π2x+2φ)，
因为y=f(x)过点(1,2)，所以cos(π2+2φ)=-1.
所以π2+2φ=2kπ+π(k∈Z)，
解得φ=kπ+π4(k∈Z)，
又因为0<φ<π2，所以φ=π4.
(2)方法一：因为φ=π4，
所以y=1-cos(π2x+π2)=1+sin π2x，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4，
又因为y=f(x)的周期为4,2 008=4×502.
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