分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.
解：以 为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.
由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段C满足的抛物线方程为： 其中 、 为A、B的横坐标
令 则 ，
∴由两点间的距离公式，得方程组：
解得 或
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∵△AMN为锐角三角形，∴ ，则 ，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
例7如图所示，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.(1)求 .(2)求△ABQ面积的最大值.
分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出 .
解：(1)设
由 得： ，
由 得 ，
同 类似，
则 ，
(2)
，∴当 时， 取最大值 .
例8 已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程.
分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，
则有 解得
解得
如图， 、 在抛物线上
∴
两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，
由 ， ，得 .把 代入，得 .
∴直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 .
解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，
又设 ，依题意，有 ， .
故 ， .
由 ，知 .
∴ ， .
又 ， ，故 为第一象限的角.
∴ 、 .
将 、 的坐标代入抛物线方程，得
∴ ，即 从而 ， ，
∴ ，得抛物线 的方程为 .
又直线 平分 ，得 的倾斜角为 .
∴ .
∴直线 的方程为 .
说明：
(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.
例9 如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积.
分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.
解：∵直线 ， ，∴设 的方程为 ，且 、 .
由方程组 ，消去 ，得 ，于是
， ，∴ (其中 )
∴ .
由已知， 为正方形， ，
∴ 可视为平行直线 与 间的距离，则有
，于是得 .
两边平方后，整理得， ，∴ 或 .
当 时，正方形 的面积 .
当 时，正方形 的面积 .
∴正方形 的面积为18或50.
说明：运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短距离.
分析：利用抛物线有关性质求解.
解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，
彗星位于点 处.直线 的方程为 .
解方程组 得 ，
故 .
.
故 ，得 .
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ，所以彗星与地球的最短距离为 或 ，( 点在 点的左边与右边时，所求距离取不同的值).
说明：
(1)此题结论有两个，不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11 如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值.
分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ，
∵ 为已知圆的直径，∴ ，则 .
设 、 ，∵ ，而 、 在抛物线上，
由已知可知，直线 方程为 ，于是，由方程组
消去 ，得 ，∴ .
∴ ，因此， .
说明：本题如果分别求 与 则很麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
(1)求证：|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F( ,0).
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•(x- ),与抛物线方程联立，消去y并整理，得
tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .
设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?
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