在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。
∴ (m2)。
答：U型槽的横截面积约为20m2。
【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。
8. (2012湖北荆州12分)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0
【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，D(﹣1，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1)。
将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=-(x﹣3)(x+1)，即y=﹣x2+2x+3。
又∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴点B(1，4)。
(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4).
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°， 。
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°， 。
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。
∴AB是△ABE外接圆的直径。
在Rt△ABE中， ，∴∠BAE=∠CBE。
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
(3)存在。点P的坐标为(0，0)或(9，0)或(0，﹣ )。
(4)设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A(3，0)，B(1，4)代入，得 ，解得 。
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3)。
情况一：如图2，当0
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.
由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。
∴
= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t。
情况二：如图3，当
由△IQA∽△IPF，得 .即 ，
解得IQ=2(3﹣t)。
∴
= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ 。
综上所述： 。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。
【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。
(2)过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。
(3)在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= 。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。
由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，
即tan∠DEO= =tan∠BAE，
即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。
因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0)。
②DE为短直角边时，P2在x轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。
而DE= ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9。
即P2(9，0)。
③DE为长直角边时，点P3在y轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。
则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ，OP3=EP3﹣OE= 。即P3(0，﹣ )。
综上所述，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣ )。
(4)过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形;当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。
9. (2012湖北黄冈8分)如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，
过点D 作DE⊥BC，垂足为点E.
(1)求证：DE 为⊙O 的切线;
(2)求证：DB2=AB•BE.
【答案】证明：(1)连接OD、BD，则∠ADB=90°(圆周角定理)，
∵BA=BC，∴CD=AD(三线合一)。
又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。
∴OD∥BC。
∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。
∴DE为⊙O的切线。
(2)∵∠BED=∠BDC =900，∠EBD=∠DBC，
∴△BED∽△BDC，∴ 。
又∵AB=BC，∴ 。∴BD2=AB•BE。
【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。
(2)根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论。
10. (2012湖北十堰10分)如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E.
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