(1)求证：BD是⊙O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
(3)作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G(如图2)，求 的值.
【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，
而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切
线。
(2)连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。
(3)由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的
判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FG与FC的比即可。
11. (2012湖北孝感10分))如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、
BN于点D、C，DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线;
(2)若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R.
【答案】解：(1)证明：过O点作OE⊥CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD。
又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA。
∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径。
∴CD是⊙O的切线。
(2)过点D作DF⊥BC于点F，
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC。
∴四边形ABFD是矩形。∴AD=BF，AB=DF。
又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5。
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE。∴DC=AD+BC=4+9=13。
在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，∴ 。
∴AB=12。∴⊙O的半径R是6。
【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。
【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。
(2)过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。
12. (2012湖北襄阳10分)如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;
(3)若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长.
【答案】解：(1)连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°。
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB。
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO(SAS)。
∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直线PA为⊙O的切线。
(2)EF2=4OD•OP。证明如下：
∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°。
∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA，∴ ，即OA2=OD•OP。
又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP。
(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD= BC=3(三角形中位线定理)。
设AD=x，
∵tan∠F= ，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3。
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x﹣3)2=x2+32，
解得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去)。∴AD=4，OA=2x﹣3=5。
∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。
又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB= 。
∵OA2=OD•OP，∴3(PE+5)=25。∴PE= 。
【考点】切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角
形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。1028458【分析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。
(2)先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可。
(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由(2)可得OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长。
13. (2012湖北鄂州10分)如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长
为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H。
(1)求证：OE∥AB;
(2)若EH= CD，求证：AB是⊙O的切线;
(3)若BE=4BH，求 的值。
【答案】解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。
∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。
(2)证明：过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。
∵AB=DC，∴∠B=∠C。
∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。
又∵EH⊥AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。
又∵EH= CD，∴OF= CD，即OF是⊙O的半径。
∴AB是⊙O的切线。
(3)连接DE。
∵CD是直径，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。
又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC。∴ 。
∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，
，
∴CD=2EH=2 。∴ 。
【考点】等腰梯形(三角形)的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
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