(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2)，过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由;
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时，求t的取值范围.(写出答案即可)
【答案】解：(1)由题意得AB的中点坐标为(-3 ，0)，CD的中点坐标为(0，3)，
分别代入y=ax2+b，得 ，解得， 。
∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3。
(2)①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，
∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC= BC= ，DE= 。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。
(I)若∠ADF=90°，∠EDF=120°-90°=30°。
在Rt△DEF中，DE= ，得EF=1，DF=2。
又∵E(t，3)，F(t，-t2+3)，∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。
∵t>0，∴t=1 。
此时 ，∴ 。
又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。
(II)若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则 。
设EF=m，则FB=3-m。
∴ ，即m2-3m+6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。
(III)由题意得，∠DAF<∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。
② 。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。
【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
(2)①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
(I)若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。
(II)若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
(III)∠DAF≠90°，此时t不存在。
②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：
如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。
∵F(t，3-t2)，∴EF=3-(3-t2)=t2。∴EE′=2EF=2t2。
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得 。
又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t- 。∴MN=3-(t- )2，
又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2，
∴由MN≥C′N，得3-(t- )2≥3-2t2，即t2+2 t-3≥0。
求出t2+2 t-3=0，得 ，∴t2+2 t-3≥0即 。
∵ ，∴ ，解得t≥ 。
∴t的取值范围为： 。
2. (2012浙江嘉兴、舟山12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n].
(1)如图①，对△ABC作变换[60°， ]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度;
(2)如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值;
(4)如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值.
【答案】解：(1) 3;60。
(2)∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°。
∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.
在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°。
∴AB′=2 AB，即 。
(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′。
又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。∴∠C′AB′=∠BAC=36°。
而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA。∴AB：BB′=CB：AB。
∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)。
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1(1+AB)，解得， 。
∵AB>0，∴ 。
【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。
【分析】(1)根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC= ，∠B=∠B′。
∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。
(2)由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。
(3)由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)，继而求得答案。
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