(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2),过点B作BE⊥CD于点E,交抛物线于点F,连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0
①是否存在这样的t,使△ADF与△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
②连接FC,以点F为旋转中心,将△FEC按顺时针方向旋转180°,得△FE′C′,当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时,求t的取值范围.(写出答案即可)
【答案】解:(1)由题意得AB的中点坐标为(-3 ,0),CD的中点坐标为(0,3),
分别代入y=ax2+b,得 ,解得, 。
∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3。
(2)①存在。如图2所示,在Rt△BCE中,∠BEC=90°,BE=3,BC= ,
∴ 。∴∠C=60°,∠CBE=30°。∴EC= BC= ,DE= 。
又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似,则△ADF中必有一个角为直角。
(I)若∠ADF=90°,∠EDF=120°-90°=30°。
在Rt△DEF中,DE= ,得EF=1,DF=2。
又∵E(t,3),F(t,-t2+3),∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。
∵t>0,∴t=1 。
此时 ,∴ 。
又∵∠ADF=∠DEF,∴△ADF∽△DEF。
(II)若∠DFA=90°,可证得△DEF∽△FBA,则 。
设EF=m,则FB=3-m。
∴ ,即m2-3m+6=0,此方程无实数根。∴此时t不存在。
(III)由题意得,∠DAF<∠DAB=60°,∴∠DAF≠90°,此时t不存在。
综上所述,存在t=1,使△ADF与△DEF相似。
② 。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,菱形的性质,平移的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行的性质,相似三角形的判定,解方程和不等式。
【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标,然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
(2)①如图2所示,△ADF与△DEF相似,包括三种情况,需要分类讨论:
(I)若∠ADF=90°时,△ADF∽△DEF,求此时t的值。
(II)若∠ADF=90°时,△DEF∽△FBA,利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
(III)∠DAF≠90°,此时t不存在。
②画出旋转后的图形,认真分析满足题意要求时,需要具备什么样的限制条件,然后根据限制条件列出不等式,求出t的取值范围:
如图3所示,依题意作出旋转后的三角形△FE′C′,过C′作MN⊥x轴,分别交抛物线、x轴于点M、点N。
观察图形可知,欲使△FE′C′落在指定区域内,必须满足:EE′≤BE且MN≥C′N。
∵F(t,3-t2),∴EF=3-(3-t2)=t2。∴EE′=2EF=2t2。
由EE′≤BE,得2t2≤3,解得 。
又∵C′E′=CE= ,∴C′点的横坐标为t- 。∴MN=3-(t- )2,
又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2,
∴由MN≥C′N,得3-(t- )2≥3-2t2,即t2+2 t-3≥0。
求出t2+2 t-3=0,得 ,∴t2+2 t-3≥0即 。
∵ ,∴ ,解得t≥ 。
∴t的取值范围为: 。
2. (2012浙江嘉兴、舟山12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,我们将这种变换记为[θ,n].
(1)如图①,对△ABC作变换[60°, ]得△AB′C′,则S△AB′C′:S△ABC= ;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度;
(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB'C',使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB'C'为矩形,求θ和n的值;
(4)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB'C'为平行四边形,求θ和n的值.
【答案】解:(1) 3;60。
(2)∵四边形 ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°。
∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.
在 Rt△AB B' 中,∠ABB'=90°,∠BAB′=60°,∴∠AB′B=30°。
∴AB′=2 AB,即 。
(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′。
又∵∠BAC=36°,∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。∴∠C′AB′=∠BAC=36°。
而∠B=∠B,∴△ABC∽△B′BA。∴AB:BB′=CB:AB。
∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)。
而 CB′=AC=AB=B′C′,BC=1,∴AB2=1(1+AB),解得, 。
∵AB>0,∴ 。
【考点】新定义,旋转的性质,矩形的性质,含300角直角三角形的性质,平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,公式法解一元二次方,。
【分析】(1)根据题意得:△ABC∽△AB′C′,
∴S△AB′C′:S△ABC= ,∠B=∠B′。
∵∠ANB=∠B′NM,∴∠BMB′=∠BAB′=60°。
(2)由四边形 ABB′C′是矩形,可得∠BAC′=90°,然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC,即可求得θ的度数,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得n的值。
(3)由四边形ABB′C′是平行四边形,易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°,又由△ABC∽△B′BA,根据相似三角形的对应边成比例,易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′),继而求得答案。
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