(1)求A点坐标及线段AB的长;
(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时，求t的值;
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ>∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。
【答案】解：(1)由抛物线 知：当x=0时，y=﹣2，∴A(0，﹣2)。
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同。
当y=﹣2时， ，解得 。∴B(4，﹣2)。
∴AB=4。
(2)①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7(t-1)=7 t -7。
当Q点在OA上时，即 ， 时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴ ，即 ，解得 。
∵ ，∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时，即 ， 时，
如图2，过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t。
若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴ ，即 ，解得 。
∵ ，∴ 符合题意。
当Q点在BC上时，即 ， 时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∴∠QPB>90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直。
综上所述，当 时，有PQ⊥AC。
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴ ，
∴ ，解得t=2。
即当t=2时，PQ∥AC。此时AP=2，BQ=CQ=1。
∴P(2，﹣2)，Q(4，﹣1)。
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH<﹣2时，∠HOQ>∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ= ，
∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3= OQ×PM，
∴PM= 。∴PP′=2PM= 。
∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。
∴ ，即 ，解得 ， 。
∴P′( )。∴直线OP′的解析式为 。
∴OP′与NP的交点H2(2， )。
∴当 时，∠HOP>∠POQ。
综上所述，当 或 时，∠HOQ>∠POQ。
【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。
【分析】(1)已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标;由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。
(2)①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形(或构建相似三角形)，利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′，OP′与NP的交点H2，亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题目要求的是∠HOQ>∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。
6. (2012浙江台州14分)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.
(1)根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______
(2)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.
(3)①如图，由(2)知，当点B在⊙O的左半圆时，d=2 ，此时，点M是圆弧M1M2，长2π;
当点B从B1到B3时，d=2 ，此时，点M是线段M1M3，长为8;
同理，当点B在⊙O的左半圆时，圆弧M3M4长2π;点B从B2到B4时，线段M1M3=8。
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为16+4π。
②存在。如图，由A(4，0)，D(0，2), 得 。
(i)∵M1H1=M2H2=2，
∴只要AH1=AH2=1, 就有△AOD∽△M1H1A和△AOD∽△M2H2A，此时OH1=5，OH2=3。
∵点M为线段BC的中点, BC=4，
∴OH1=5时，m=3;OH2=3时，m=1。
(ii)显然，当点M3与点D重合时，△AOD∽△AH3M3，此时m=-2, 与题设m≥0不符。
(iii)当点M4右侧圆弧上时，连接FM4，其中点F是圆弧的圆心，坐标为(6，0)。
设OH4=x, 则FH4= x-6。
又FM4=2，∴ 。
若△AOD∽△A H2M2，则 ,即 ,
解得 (不合题意，舍去)。此时m= 。
若△AOD∽△M2H2 A，则 ,即 ,
解得 (不合题意，舍去)。
此时 ,点M4在圆弧的另一半上，不合题意，舍去。
综上所述，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似的m的值为：m=1，m=3，m= 。
【考点】新定义，点到直线的距离，两平行线间的距离，勾股定理，求函数关系式，图形的平移性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据定义，当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离是点A到BC的距离2。当m=5，n=2时，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长) 可由勾股定理求出： 。
(2)分2≤m<4和4≤m≤6两种情况讨论即可。
(3)①由(2)找出点M随线段BC运动所围成的封闭图形即可。
②由(2)分点M在线段上和圆弧上两种情况讨论即可。
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