(1)求A点坐标及线段AB的长;
(2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动,1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO,OC,CB边向点B移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时,求t的值;
②当PQ∥AC时,对于抛物线对称轴上一点H,∠HOQ>∠POQ,求点H的纵坐标的取值范围。
【答案】解:(1)由抛物线 知:当x=0时,y=﹣2,∴A(0,﹣2)。
∵四边形OABC是矩形,∴AB∥x轴,即A、B的纵坐标相同。
当y=﹣2时, ,解得 。∴B(4,﹣2)。
∴AB=4。
(2)①由题意知:A点移动路程为AP=t,Q点移动路程为7(t-1)=7 t -7。
当Q点在OA上时,即 , 时,
如图1,若PQ⊥AC,则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴ ,即 ,解得 。
∵ ,∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时,即 , 时,
如图2,过Q点作QD⊥AB。∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t。
若PQ⊥AC,则有Rt△QDP∽Rt△ABC,
∴ ,即 ,解得 。
∵ ,∴ 符合题意。
当Q点在BC上时,即 , 时,
如图3,若PQ⊥AC,过Q点作QG∥AC,
则QG⊥PG,即∠GQP=90°。
∴∠QPB>90°,这与△QPB的内角和为180°矛盾,
此时PQ不与AC垂直。
综上所述,当 时,有PQ⊥AC。
②当PQ∥AC时,如图4,△BPQ∽△BAC,∴ ,
∴ ,解得t=2。
即当t=2时,PQ∥AC。此时AP=2,BQ=CQ=1。
∴P(2,﹣2),Q(4,﹣1)。
抛物线对称轴的解析式为x=2,
当H1为对称轴与OP的交点时,有∠H1OQ=∠POQ,
∴当yH<﹣2时,∠HOQ>∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P′,连接PP′交OQ于点M,过P′作P′N垂直于对称轴,垂足为N,连接OP′,
在Rt△OCQ中,∵OC=4,CQ=1。∴OQ= ,
∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3= OQ×PM,
∴PM= 。∴PP′=2PM= 。
∵NPP′=∠COQ。∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′。
∴ ,即 ,解得 , 。
∴P′( )。∴直线OP′的解析式为 。
∴OP′与NP的交点H2(2, )。
∴当 时,∠HOP>∠POQ。
综上所述,当 或 时,∠HOQ>∠POQ。
【考点】二次函数综合题,曲线图上点的坐标与方程的关系,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,对称的性质。
【分析】(1)已知抛物线的解析式,将x=0代入即可得A点坐标;由于四边形OABC是矩形,那么A、B纵坐标相同,代入该纵坐标可求出B点坐标,则AB长可求。
(2)①Q点的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析,若PQ⊥AC时,很显然前两种情况符合要求,首先确定这三段上t的取值范围,然后通过相似三角形(或构建相似三角形),利用比例线段来求出t的值,然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。
②当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标,可判定P点在抛物线的对称轴上,若P、H1重合,此时有∠H1OQ=∠POQ。若作P点关于OQ的对称点P′,OP′与NP的交点H2,亦可得到∠H2OQ=∠POQ,而题目要求的是∠HOQ>∠POQ,那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。
6. (2012浙江台州14分)定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.
已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是_____,
当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(3)①如图,由(2)知,当点B在⊙O的左半圆时,d=2 ,此时,点M是圆弧M1M2,长2π;
当点B从B1到B3时,d=2 ,此时,点M是线段M1M3,长为8;
同理,当点B在⊙O的左半圆时,圆弧M3M4长2π;点B从B2到B4时,线段M1M3=8。
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为16+4π。
②存在。如图,由A(4,0),D(0,2), 得 。
(i)∵M1H1=M2H2=2,
∴只要AH1=AH2=1, 就有△AOD∽△M1H1A和△AOD∽△M2H2A,此时OH1=5,OH2=3。
∵点M为线段BC的中点, BC=4,
∴OH1=5时,m=3;OH2=3时,m=1。
(ii)显然,当点M3与点D重合时,△AOD∽△AH3M3,此时m=-2, 与题设m≥0不符。
(iii)当点M4右侧圆弧上时,连接FM4,其中点F是圆弧的圆心,坐标为(6,0)。
设OH4=x, 则FH4= x-6。
又FM4=2,∴ 。
若△AOD∽△A H2M2,则 ,即 ,
解得 (不合题意,舍去)。此时m= 。
若△AOD∽△M2H2 A,则 ,即 ,
解得 (不合题意,舍去)。
此时 ,点M4在圆弧的另一半上,不合题意,舍去。
综上所述,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似的m的值为:m=1,m=3,m= 。
【考点】新定义,点到直线的距离,两平行线间的距离,勾股定理,求函数关系式,图形的平移性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据定义,当m=2,n=2时,线段BC与线段OA的距离是点A到BC的距离2。当m=5,n=2时,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长) 可由勾股定理求出: 。
(2)分2≤m<4和4≤m≤6两种情况讨论即可。
(3)①由(2)找出点M随线段BC运动所围成的封闭图形即可。
②由(2)分点M在线段上和圆弧上两种情况讨论即可。
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