26.(2012湖北襄阳，26，13分)如图12，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.
【解析】(1)根据折叠前后的相等线段，先在Rt△OEC中求出OE长，再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD.然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可.(2)分别用含t的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得.(3)从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解.
【答案】解：(1)∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10.
由题意得，△BDC≌△EDC.
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD.
由勾股定理易得EO=6.
∴AE=10-6=4.
设AD=x，则BD=DE=8-x，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2.
解之得，x=3，∴AD=3.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点O(0，0)，∴c=0.
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，
∴ 解之得
∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x.
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE.
由(1)可得AD=3，AE=4，DE=5.
而CQ=t，EP=2t，PC=10-2t.
当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，
∴ = ，即 = ，解得t= .
当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，
∴ = ，即 = ，解得t= .
∴当t= 或 时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似.
(3)存在.M1(-4，-32)，N1(4，-38).
M2(12，-32)，N2(4，-26).
M3(4， )，N3(4，- ).
【点评】本题是一道直线形坐标几何问题，综合考查轴对称，全等三角形，矩形的性质，相似三角形，勾股定理与方程，平行四边形等方面的知识.重点考查学生综合运用数学知识解决综合问题的能力，以及运用方程思想，数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力.本题入口较宽，第(1)问就是教材习题，能保证大部分考生得分，具有公平性;第(2)问属于动态探究问题，根据相似三角形产生的相似比建立含t的方程是求解关键.第(3)问情况有三种，所要求的点有六个，如何条理清晰的进行分类得出点的位置是解题先决条件.这类问题通常是以两定点形成的边为突破口，把它当作边和对角线分别思
23.(2012四川攀枝花，23，12分)(12分)如图9，在平面直角坐标系 中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=
(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为 ，(1)中抛物线的解析式为 ，求当 时，自变量 的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大?并求出面积的最大值。
【解析】菱形的性质，求抛物线解析式，
三角形函数，三角形的面积的求法
【答案】解：
(1)∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=5，∠B=∠ADC
∴OC：CD=sin∠ADC
即OC=4
在Rt△OCD中，OD=3
OA=AD–OD=2
∴D(3，0)，A(–2，0)，C(0，4)，B(–5，4)
设抛物线解析式为y=a(x–3)(x+2)
将C(0，4)代入，得a= –
y= – (x–3)(x+2)= – x2+ x+4
(2)把A(–2，0)和B(–5，4)代入
解得 ∴
解得x1=5,x2= –2，
∴ –2
(3)作AF∥y轴，EF∥x轴，连结PF
xB=5,yB= ∴E(5， ) A(–2，0)
设P(m, – m2+ m+4)
AF= ，EF=7，
S△PAE=S△AFP+S△EFP–S△AFE= AF(xP–xA)+ EF(yP–yE)– AF×EF
=
= =
∴当m= ，即P( ， )时△PAE有最大值为 。
【点评】(1)本题重点考查了菱形的性质，以及利用三角函数求线段长度和点的坐标。利用坐标求抛物线解析式。
(2)求出直线与抛物线的两交点坐标，并结合图像解答问题。
(3)求三角形面积的方法有很多种，此种方法利用割补法求出三角形面积关于m的函数关系式，并求最大值。
24.(2012四川攀枝花，24，12分)(12分)如图10所示，在 形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于 D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP= ，PE= .
(1)当 时，求 的值;
(2)当CQ= CE时，求 与 之间的函数关系式;
(3)①当CQ= CE时，求 与 之间的函数关系式;
②当CQ= CE( 为不小于2的常数)时，求直接 与 之间的函数关系式。
【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例
【答案】
解：
(1)∵E、F是AB、AC中点
∴EF∥BC，EF=0.5BC=3
∴EP= =1
∵EF∥BC
∴△DPE∽△DBC
∴EP：BC=1：6
∴ =1：36
(2)延长BQ交射线EF于点G
∵EF∥BC
∴∠G=∠GBC
又∵∠GBC=∠GBP
∴∠G=∠GBP
∴PG=BP=y
即EG=x+y
∵EF∥BC
∴△QEG∽△QCB
∴EQ：QC=EG：BC=1
x+y=6
y= –x+6
(3)
①同(2)中
△QEG∽△QCB
EQ：QC=EG：BC=2
x+y=2×6
y= –x+12
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