∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，
OC2=AC2+OA2，即
(1+x)2=x2+52，
解得x=12，即AC=12.
点评： 本题综合考查了勾股定理、切线的判定与性质.欲证某线是圆的切线，只需证明连接圆心与此线过圆上的点的线段(圆的半径)与该直线垂直即可.
22.(2012湖北黄冈，22，8)如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，
垂足为点E.(1)求证：DE 为⊙O 的切线;(2)求证：DB2=AB•BE.
【解析】(1)连接OD，根据切线的判定定理来证明;(2)证明△ABD∽△DEB推得
DB2=AB•BE.
【答案】证明：(1)连接OD.∵AB为半圆⊙O的直径 ∴∠ADB=90°.∵AB=BC
∴D为AC中点.又O为AB的中点 ∴OD∥BC ∵DE⊥BC ∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线.
(2)∵AB=BC，∠ADB=90°∴∠CBD=∠DBA 又∠ADB=∠DEC=90°
∴△ABD∽△DEB ∴ 即
【点评】本题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、平行线的性质等，较为综合，但属于常规题.难度中等.
22(2012湖北武汉，22，8分)在锐角△ABC中，BC=5, sinA .
1、 如图1,求△ABC的外接圆的直径;
2、 如图2,点I为ABC的内心，若BA=BC，求AI的长.
解析：第(1)小题要求直径，可过点(或B)作直径，根据同弧所对圆周角相等，以及题目所给三角函数关系即可求解;第(2)小题点I是内心，即角平分线的交点,又BA=BC,故可作∠B的角平分线即BI得到Rt△ABH,借助角平分线性质及勾股定理求解.
解：(1)过C作外接圆直径CD，连接BD
则∠CBD=90°，∠D=∠A
∵ = sinD = sinA
∴BC=5, ∴CD= ,即△ABC的外接圆的直径为
(2)连接并延长BI交AC于H，过I作IE⊥AB于E
∵点I为内心，平分∠BAC，BI 平分∠ABC
又BA=BC，∴ BI⊥AC, ∴IH=IE AE=AH,
在Rt△ABH中，BH=AB×sin∠BAH=4,AH= ∴BE=AB-AH=2
令IE=IH=x,则BI=4-x,在Rt△BIE中,有BI2=BE2+IE2 即(4-x)2=x2+22
解得x=1.5
在Rt△AIH中，AI= =
(注:其他解法依据情况酌情给分)
点评：本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆周角的性质,在三角函数的性质,角平分线性质,等腰三角形三线合一,勾股定理等知识(也可以利用三角形面积计算求解), 知识点丰富;考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2个小题设问方式较常规,所考察知识点也是平时学生用得较多的知识点,难度都不大,但把这些放在一起综合考虑,对学生综合思维能力要求较高.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的2条辅助线添法是关键,就这2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.
24、((2012•湖南省张家界市•24题•10分))如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧 上一动点(不与A、C重合).
(1)求∠AEC与∠ACD的度数;
(2)当点E移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBEC是菱形.
(3)P点移动到什么位置时，△AEC与△ABC全等，请说明理由.
【分析】(1)显然△ACO是等边三角形，结合切线性质可求;(2)只要证明AC=CP=OA=OP即可.
【解答】解：(1)∵AC=OA=OC=2，∴△ACO为等边三角形.
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC= AOC=30°.
又∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC.
∴∠DCO=90°.
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°.
(2)∵AB为直径，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°.
当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP为等边三角形.
∴AC=CP=OA=OP.
∴四边形AOPC为菱形.
(3)当点P与B重合时，△ABC与△APC完全重合.
∴△ABC≌△APC.
当点P继续运动到CP经过圆心时，也有△ABC≌△CPA.
因为此时，AB=CP，AC为公共边，∠ACB=∠CAP=90°，根据直角三角形斜边直角原理即得.
【点评】本题是是一道与圆有关的动态试题，综合考查了圆的切线性质、等边三角形的判定性质、菱形的判定、全等三角形等知识.
(2012北海,25，10分)25.如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点E，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D。
(1)求证：∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4，AD=8：
①求⊙O的半径;
②求tan∠BAE的值。
【解析】(1)在圆中遇到切线，经常做的辅助线是连接过切点的半径，连OC，OC⊥CD，CD⊥AE，易得OC∥AD，两直线平行，内错角相等，∠1=∠3，又有△OAC是等腰三角形，∠2=∠3，所以结论成立。
(2)①在圆中，遇到直径，经常作直径所对圆周角，连BC，则∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC2=80，易得△ACD∽△ABC，得到 ，求出AB=10，圆的半径为5 。②若求tan∠BAE的值，必须把∠BAE放在直角三角形中。连BF、CF，利用△DCF∽△DAC求出DF=2，所以AF=6，再利用勾股定理求出BF的长度，在Rt△ABF中，求出tan∠BAE的值。
【答案】(1)证明：连接OC。 1分
∵CD是⊙O的切线
∴CD⊥OC
又∵CD⊥AE
∴OC∥AE
∴∠1=∠3 2分
∵OC=OA
∴∠2=∠3
∴∠1=∠2
即∠EAC=∠CAB 3分
(2)解：①连接BC。
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D
∴∠ACB=∠ADC=90°
∵∠1=∠2
∴△ACD∽△ABC
∴ 5分
∵AC2=AD2+CD2=42+82=80
∴AB= =10
∴⊙O的半径为10÷2=5。 6分
②连接CF与BF。
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形
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