ΔACO∽ΔABP，得 ，∴AO•AB=AP•AC,∴AE•AF= AO•AB.
∵AO=9，AB=8，AE=AO-OE=9-OE，AF=AO+OF=AO+OE=9+ OE,
∴(9-OE)•(9+ OE)=72，∴81-OE²=72，∴OE²=9，∴OE=3，∴EF=6.
方法三，举特例。特殊问题不是一般性，当P运动到使∠PAB=45°时，可以很快得到NF=5，NO=4，在RtΔNOF中，可得OF=3. ∴EF=6.
【答案】C，
【点评】本题借助圆的知识主要考查垂径定理及相似三角形的性质，动态的问题又有不变的地方，作为选择题，利用举特例比较好。此题难度较大。
20.(2012福州，20，满分12分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。
(1)求证：AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°，CD= ，求AE的长。
解析：(1)由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD∥OC，因此易证AC平分∠DAB;(2)由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD= ，因此可得AC= ，从而可求得AB的长，连接OE，易知△OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE。
答案：(1)证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°
∵AD⊥CD
∴∠ADC=90°
∴∠OCD+∠ADC=180°
∴AD∥OC
∴∠1=∠2
∵OA=OC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB。
(2)解法一：如图2
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°
∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=
∴AC=2CD=
在Rt△ABC中，AC=
∴
连接OE
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE
∴△EAO是等边三角形
∴AE=OA= =4.
解法二：如图3，连接CE
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°
∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=
∴
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形
∴∠B+∠AEC=180°
又∵∠AEC+∠DEC=180°
∠DEC=∠B=60°
在Rt△CDE中，CD=
∴
∴AE=AD-DE=4.
点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形;考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。
22. (2012广州市，16， 3分)(本小题满分12分)
如图8， ⊙P 的圆心为P{-3,2}，半径为3，直线MN过点M{5,0}且平行于y轴，点N在点M的上方。
{1} 在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P`，根据作图直接写出⊙P`与直线MN的位置关系：
{2}若点N在{1}中的⊙P上。求PN的长。
【解析】(1)确定了⊙P`的圆心的位置即可画出⊙P`。看出MN与⊙P`的位置。(2)利用勾股定理可求出PN的长。
【答案】解：(1)点P{-3,2}关于y轴对称点为P`{3,2},以点P`为圆心，3为半径的圆即为所求，⊙P`与直线MN相交。
(2)NE= = .
在Rt△PNE中，PN= = 。
【点评】本题考查了图形的轴对称画图，圆中垂径定理以及勾股定理在坐标系中的应用。
23. (2012山东省临沂市，23，9分)如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=600，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.
(1)求证：AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长。
【解析】(1)证明AP是⊙O的切线，连接OA，只需证明半
径与直线的夹角是900，即∠PAO=900便可。
(2)CD是⊙O的直径，∴连接AD，∠ADC=900，又∠B
=600，AC=3，应用三角函数可求得PD=AD=AC∙tan300= .
解：(1)证明: 连接OA，∵∠B=600，∠AOC=2∠B=1200,
∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,
又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=300，∴∠OAP=900，即OA⊥AP,
∴AP是⊙O的切线;
(2) CD是⊙O的直径，连接AD，∴∠CAD=900，
∴AD=AC∙tan300= .
∵∠ADC=∠B=600，∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD,
∴PD=AD= .
【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用.要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.
31.2圆与圆的位置关系
8. (2012福州，8，4分，) ⊙O1和 ⊙O2,的半径分别是3㎝和4㎝，如果O1O2=7㎝，则这两圆的位置关系是( )
A.内含 B.相交 C.外切 D. 外离
解析：因为⊙O1和 ⊙O2,的半径和=7，因此两圆外切。
答案：C
点评：本题考查两圆的位置关系，设两圆的半径分别为R、r(R>r)，圆心距为d，则：(1)d>R+r时，两圆外离;(2)d=R+r时，两圆外切;(3)R-r
10.(2012四川省南充市，10，3分) 如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，点P(a,0) ，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为( )
A.3 B.1 C.1，3 D.±1，±3
解析：⊙P在向左移动时首先会与⊙O外切，此时点P的坐标为(3,0);当⊙P继续向左平移，则会与⊙O内切，此时点P坐标为(1,0);继续向左平移则会与⊙O另一侧出现内切、外切，点P的坐标依次为(-1,0)、(-3,0)。
答案：D
点评：本题考查了两圆相切时，圆心距与半径的关系。对于没有明确两圆内切或外切的情况下，要全面考虑，以免出现漏解。
13. (2012浙江丽水4分，13题)半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为________cm.
【解析】：圆心距d=4-3=1(cm).
【答案】：1
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