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2013年全国各地中考数学开放探索型问题试题整理汇集
12. (2012山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3;……;依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是( )
A. B. C. D.
解析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，则AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，x= ;同理，正方形A2B2C2D2的边长为 ，……，故可猜想第n个正方形AnBnCnDn的边长是 .
解答：选B.
点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.
(2012河北省25,10分)25、(本小题满分10分)
如图14，A(-5,0)，B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP= 15°时，求t的值;
(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在直线)相切时，求t的值。
【解析】在直角三角形BCO中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为(0,3);(2)∠BCP= 15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧;(3)⊙P与四边形ABCD的边(或边所在直线)相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。
【答案】解(1)∵∠BCO=∠CBO=45° ∴OC=OB=3
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为(0,3)………………………………2分
(2)当点P在点B右侧时，如图2.
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故OP=OCtan30°=
此时 ………………………………4分
当点P在点B左侧时，如图3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60°
故PO=OCtan60°=3 ， 此时t=4+3
∴t的值为4+ 或4+3 ………………………………6分
(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1……………7分
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4……………………………8分
③当⊙P与AD相切时，由题意，∠DAO=90°， ∴点A为切点，如图4， ，
，于是 ，解得t=5.6
∴t的值为1或4或5.6……………………10分
【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面(不重不漏)，培养学生优秀的学习品质。有一定难度。
(2012河北省26,12分)26、(本小题满分12分)
如图15-1和图15-2，在△ABC中，AB=13，BC=14， 。
探究 如图15-1，AH⊥BC于点H，则AH=___________，AC=____________，△ABC的面积S△ABC=_____________。
拓展 如图15-2，点D在AC上(可以与点A、C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，(当点D与点A重合时，我们认为S△ABC=0)
(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。
发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值。
【解析】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值，进而求出三角形的面积。
拓展(1)利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式;(2)利用(1)中的式子，用x表示m和n，再求(m+n)的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BD⊥AC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值;(3)根据垂线段最短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。
发现 满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是(m+n)的最小值。
【答案】解：探究
12 15 84……………………………………………………3分
拓展
(1)由三角形面积公式得 ， ………………………………4分
(2)由(1)得 ， ， ∴m+n= = ……………………5分
由于AC边上的高为 ∴x的取值范围为
∵(m+n)随x的增大而减小， ∴当x= 时，(m+n)的最大值为15;……………………7分
当x=14时，(m+n)的最小值为12. …………………………8分
(3)x的取值范围是 或 …………………………10分
发现
AC所在的直线…………………………11分
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