最小值为 …………………………12分
【点评】此题为探究题型，前半部分难度较小，在确定x的取值范围时，学生不容易想到;第(3)中x的取值范围也不容易想到，是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。
24. (2012•湖北省恩施市，题号24 分值12)如图12，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0)，C(2,3)两点，与y轴交与点N。其顶点为D。
(1求抛物线及直线A、C的函数关系式;
(2)设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EF∥BD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E的坐标;若不能，请说明理由;
(4)若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值
【解析】(1)直接将A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c和y=kx+b即可。
(2)本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接D N1，求直线D N1和x=3的交点可得m的值;
(3)BD、EF是平行四边形的邻边，分点E在线段AC和线段AC(或CA)延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加(或减)BD长度，设点E(x,y)，则点F坐标(x,y+3),代入抛物线表达式可求解;
(4)作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H，则点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据△PAC面积等于 PH×AQ(AQ为定值)可讨论其最值。
【答案】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A(-1,0)，C(2,3)在A\C上，可得：
解得:k=1,n=1
∴AC的解析式为：y=x+1;
把A(-1,0)，C(2,3)y=-x2+bx+c
解得b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y= -x2+2x+3，
∴N(0,3)D(1,4).
(2) 作N关于x=3的对称点N1，连接DN1，则N1(6,3).设直线D N1的解析式为y=px+q，则有：
，∴p= ，q= ,∴D N1的解析式y= x+ ，当M(3，m)在D N1上时，MN+MD的值最小，∴m= ×3+ = ;
(3)易知B(1,2)，又D(1,4)∴BD=2.因为点E在AC上，设点E(x,x+1),
1°当点E在线段AC上时，点F(x.x+3)，代入y= -x2+2x+3，得x+3=-x2+2x+3，
解得x=0或=1(不符合题意舍去)，∴E;
2°当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F(x.x-1)，代入y= -x2+2x+3，得x-1=-x2+2x+3，解得x= ，所以E( , )E( , )
综上所述，当点E(0, 1)、( , )或( , )时以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形;
(4)作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H。
设H(x,x+1)，则P(x, -x2+2x+3),所以PH=(-x2+2x+3)-(x+1)= -x2+ x+2，
又∵S△PAB=S△PAH+ S△PBH= PH×AQ= (-x2+ x+2)×3= (x- )2+ ，
∴△APC面积的最大值是 。
的交点可得m的值;
【点评】本题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来;然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。
28.(2012湖南衡阳市，28，10)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2，1)，点P(a，b)在抛物线上运动.(点P异于点O)
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR;
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状.
解析：(1)根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式.
(2)①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证;
②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可;
③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状.
答案：解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称;
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B(2，1)
∴A(2，﹣1)、D(﹣2，﹣1);
由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax2，则有：
4a=﹣1，a=﹣
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2.
(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a，﹣ a2)，而R(a，1)、F(0，﹣1)，则：
则：PF= = = a2+1，PR= = a2+1.
∴PF=PR.
②由①得：RF= ;
若△PFR为等边三角形，则RF=PF=FR，得：
= a2+1，即： a4﹣ a2﹣3=0，得：
a2=﹣4(舍去)，a2=12;
∴a=±2 ，﹣ a2=﹣3;
∴存在符合条件的P点，坐标为(2 ，﹣3)、(﹣2 ，3).
③同①可证得：QF=QS;
在等腰△SQF中，∠1= (180°﹣∠SQF);
同理，在等腰RPF中，∠2= (180°﹣∠RPF);
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2= (360°﹣∠SQF﹣∠RPF)=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形.
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