假期来了，大家是不是特别开心呀?但是小编提醒大家：我们还是个学生，主要任务还是学习哦!鉴于此，小编精心准备了这篇初三暑假作业数学动态问题检测试题，希望对您有所帮助!
1.(2011山东聊城 24，12分)(本题共12分)如图，在矩形 中， ， ,点 、 、 分别从点 、 、 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 、 的速度均为2cm/s，点 的速度为4cm/s，当点 追上点 (即点 与 点重合)时，三个点随之停止移动，设移动开始第t秒时， 的面积为 。
(1)当 时， 的值是多少?
(2)写出 和 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围。
(3)若点 在矩形的边 上移动时，当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点的三角形相似?请说明理由。
【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得BE、BF、FC和CG的长度，计算出梯形EBCG和三角形BEF、三角形FCG的面积，从而求出 的面积为 的值。
(2)由题意知移动时间 的取值范围是 < ≤ ，①当 < ≤ 时，图形如上图，此时可以用含有 的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，进而表示 的面积 ;②当 < ≤ 时，图形如下，此时可以用含有 的代数式表示出 的长度，从而表示出出 的面积为 的值。
(3)用含有 的代数式表示出BE、BF、FC和CG的长度，由于两三角形对应关系的不确定，需要分来两种情况进行讨论。
【答案】解：(1) 时， , , 。则 , .
∴梯形EBCG的面积为 ,
的面积为 ,
的面积为 ,
∴ .
(2) ①当点 在 时，此时 < ≤ .
, , 。则 , .
∴梯形EBCG的面积为 ,
的面积为 ,
的面积为 ,
∴ 。
即 ( ≤ ≤ )。
②当点 在 时，此时 < ≤ 。
， ，
∴ 。
的面积为 。
即 ( < ≤ )。
(3)点 在矩形的边 上移动时，此时 ≤ ≤ 。
①若 ,即 。解得 。
又 满足 ≤ ≤ ，所以当 时， ∽ ;
②若 ,即 。解得 。
又 满足 ≤ ≤ ，所以当 时， ∽ ;
综上可知，当 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点的三角形相似。
【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。
2.(2011年四川省南充市21题8分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD=AB=CD=2, ∠C=600, M是BC的中点。
(1)求证：⊿MDC是等边三角形;
(2)将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD 交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由;如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。
【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手;由图形中的特殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。
【答案】证明：过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
∵∠C=∠B =60°
∴CP=BQ= ,CP+BQ=AB
又∵ADPQ是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由已知，点M是BC的中点，BM=CM=AD=AB=CD，即△MDC中，CM=CD,∠C=60°，故△MDC是等边三角形.
(2)解：△AEF的周长存在最小值，理由如下：
连结AM，由(1)平行四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°∴∠BME=∠AMF
在△BME与△AMF中，BM=AM,∠EBM=∠FAM=60°
∴△BME≌△AMF(ASA)
∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB
∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形，EF=MF
∵MF的最小值为点M到AD的距离为 ，即EF的最小值是 。
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,△AEF周长的最小值为
【点评】等边三角形的判定方法一般有两种：一是三个角都相等的三角形是等边三角形，二是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题去解决。
3. (2011山东潍坊，23，11分)如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
(1)求证：△ABC∽ΔOFB;
(2)当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长;
(3)求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点.
【解题思路】(1)要证△ABC∽ΔOFB，易证∠ACB=∠OBF=90°，由AC⊥BD和OF⊥BD，得AC∥OF，所以∠BAC=∠FOB，利用“两角对应相等，两三角形相似”即可证得;(2)连接OP，由DP、DA是切线，可知∠DAB=∠OPD=90°，由ΔABD与△BFO的面积相等，且(1)得△ABC∽ΔOFB，可知△ABC≌ΔOFB，所以OA=OB，因此OA=OP=AD=DP=1，从而得证四边形OADP是正方形，所以DP∥AB，进而确定BQ=AD=1;(3)过点Q作AM的 垂线QK，由(1)△ABC∽ΔOFB，得 ，而OB=1，所以 ，利用切线长定理易证：AD=DP，QB=QP，再利用勾股定理，确定 ，，进而得证结论.
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【答案】解：(1)证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.
又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.
∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.
∴△ACB∽△OBF.
(2)由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.
∴AD=BO= AB =1.
∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.
连接OP，∵DP是半圆O的切线，
∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，
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