取x=1,2,3，…，n，则1+12+ 13+…+1n≥ln e+ln e2+…+ln en=ln enn!.
【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.
【变式训练3】已知函数f(x)=eg(x)，g(x)=kx-1x+1(e是自然对数的底数)，
(1)若对任意的x>0，都有f(x)
(2)求证：ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>2n-3(n∈N*).
【解析】(1)由条件得到f(1)<2⇒ <2⇒k<2ln 2+1<3，猜测最大整数k=2，
现在证明 0恒成立：
2，
设h(x)=ln(x+1)+3x+1，则h′(x)=1x+1-3(x+1)2=x-2(x+1)2.
故x∈(0,2)时，h′(x)<0，当x∈(2，+∞)时，h′(x)>0.
所以对任意的x>0都有h(x)≥h(2)=ln 3+1>2，即 0恒成立，
所以整数k的最大值为2.
(2)由(1)得到不等式2-3x+1
所以ln[1+k(k+1)]>2-3k(k+1)+1>2-3k(k+1)，
ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]>(2-31×2)+(2-32×3)+…+[2-3n(n+1)]=2n-3[11×2+12×3+…+1n(n+1)]=2n-3+3n+1>2n-3，
所以原不等式成立.
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总结提高
合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发;那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的 试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.
14.2 直接证明与间接证明
典例精析
题型一 运用综合法证明
【例1】设a>0，b>0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab≥8.
【证明】因为a+b=1，
所以1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab=1+ba+1+ab+a+bab≥2+ +a+b(a+b2)2=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时等号成立.
【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.
【变式训练1】设a，b，c>0，求证：a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
【证明】因为a，b，c>0，根据基本不等式，
有a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c.
三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(a+b+c).
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
题型二 运用分析法证明
【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca.求证：I2<4S.
【证明】由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S，
故要证I2<4S，只需证a2+b2+c2+2S<4S，即a2+b2+c2<2S.
欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0，
即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0，
只需证三括号中的式子均为负值即可，
即证a2
即a
显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.
故I2<4S.
【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.
(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.
【变式训练2】已知a>0，求证：a2+1a2-2≥a+1a-2.
【证明】要证a2+1a2-2≥a+1a-2，
只要证a2+1a2+2≥a+1a+2.
因为a>0，故只要证(a2+1a2+2)2≥(a+1a+2)2，
即a2+1a2+4a2+1a2+4≥a2+2+1a2+22(a+1a)+2，
从而只要证2a2+1a2≥2(a+1a)，
只要证4(a2+1a2)≥2(a2 +2+1a2)，即a2+1a2≥2，
而该不等式显然成立，故原不等式成立.
题型三 运用反证法证明
【例3】 若x，y都是正实数，且x+y>2.求证：1+xy<2或1+yx<2中至少有一个成立.
【证明】假设1+xy<2和1+yx<2都不成立.则1+xy≥2，1+yx≥2同时成立.
因为x>0且y>0，所以1+x≥2y且1+y≥2x，
两式相加得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾.
因此1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.
【点拨 】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确;②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题;③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.
【变式训练3】已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0;x2+(a-1)x+a2=0;x2+2ax-2a=0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
【解析】假设三个方程均无实根，则有
由(4a)2-4(-4a+3)<0，得4a2+4a-3<0，即-32
由(a-1)2-4a2<0，得(a+1)(3a-1)>0，即a<-1或a>13;
由(2a)2-4(-2a)<0，得a(a+2)<0，即-2
以上三部分取交集得M={a|-32
总结提高
分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐;综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“p⇒q”与逆否命题“ q⇒ p”是等价的，而反证法是相当于由“ q”推出“ p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“ q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等.
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