14.3 数学归纳法
典例精析
题型一 用数学归纳法证明恒等式
【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N*都成立?若存在，求出a、b、c并证明;若不存在，试说明理由.
【解析】 假设存在a、b、c使12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N*都成立.
当n=1时，a(b+c)=1;
当n=2时，2a(4b+c)=6;
当n=3时，3a(9b+c)=19.
解方程组 解得
证明如下：
当n=1时，显然成立;
假设n=k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即12+22+32+…+k2+ (k-1)2 +…+22+12=13k(2k2+1);
则当n=k+1时，
12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12=13k(2k2+1)+(k+1)2+k2
=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+1)(k+1)+(k+1)2
=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)[2(k+1)2+1].
因此存在a=13，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立.
【点拨】 用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n=k到n=k+1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.
【变式训练1】用数学归纳法证明：
当n∈N*时，11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.
【证明】(1)当n=1时，左边=11×3=13，右边=12×1+1=13，
左边=右边，所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有11×3+13×5+…+1(2k-1)(2k+1)=k2k+1，
则当n=k+1时，
11×3+13×5+…+1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)
=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1，
所以当n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.
题型二 用数学归纳法证明整除性问题
【例2】 已知f(n)=(2n+7)•3n+9，是否存在自然数m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
【解析】 由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.
(1)当n=1时，结论显然成立;
(2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除.
则当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)•3k+1+9=3[(2k+7)•3k+9]+18(3k-1-1)，
由假设知3[(2k+7)•3k+9]能被36 整除，又3k-1-1是 偶数，
故18(3k-1-1)也能被36 整除.即n=k+1时结论也成立.
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