【点拨】染色问题是排列组合中的一类难题.本题能运用两个基本原理求解，要注意的是分类中有分步，分步后有分类.
【变式训练3】(2009深圳市调研)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且1,5,9号小正方形涂相同颜色，则符合条件的所有涂法有多少种?
【解析】第一步，从三种颜色中选一种颜色涂1,5,9号有C13种涂法;
第二步，涂2,3,6号，若2,6同色，有4种涂法，若2,6不同色，有2种涂法，故共有6种涂法;
第三步，涂4,7,8号，同第二步，共有6种涂法.
由分步乘法原理知共有3×6×6=108种涂法.
总结提高
分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同方法或种数的问题，其区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分若干类，类与类之间要互斥，用任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事;分步乘法计数原理是完成一件事要分若干步，步骤之间相互独立，各个步骤相互依存，缺少其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分清完成一件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个基本计数原理的基础.
12.2 排列与组合
典例精析
题型一 排列数与组合数的计算
【例1】 计算：(1)8!+A66A28-A410;(2) C33+C34+…+C310.
【解析】(1)原式=8×7×6×5×4×3×2×1+6×5×4×3×2×18×7-10×9×8×7=57×6×5×4×3×256×(-89)=-5 130623.
(2)原式=C44+C34+C35+…+C310=C45+C35+…+C310=C46+C36+…+C310=C411=330.
【点拨】在使用排列数公式Amn=n!(n-m)!进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.
【变式训练1】解不等式 >6 .
【解析】原不等式即9!(9-x)!>6×9!(11-x)!，
也就是1(9-x)!> ，
化简得x2-21x+104>0，
解得x<8或x>13，又因为2≤x≤9，且x∈N*，
所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.
题型二 有限制条件的排列问题
【例2】 3男3女共6个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少种排法?
(2)女生与男生相间，有多少种排法?
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法?
(4)3名男生不排在一起，有多少种排法?
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法?
【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部可有A33种排法，所以共有A44•A33=144种排法.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33•A33=72种排法.
(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33•A34=144种.
(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66-A33A44=576种.
(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙之间还有A22种排法.这样就有A23•A22种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22=24种.
【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.
【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.
(1)43 251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第97项是多少?
【解析】(1)不大于43 251的五位数A55-(A44+A33+A22)=88个，即为此数列的第88项.
(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有A44=24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51 234.
题型三 有限制条件的组合问题
【例3】 要从12人中选出5人去参加一项活动.
(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法?
(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法?
(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法?
(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法?
(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法?
【解析】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，C29=36种不同选法.
(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有C59=C49=126种选法.
(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选 法，所以共有C13•C49=378种选法.
(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59，共有C512-C59=666种选法.
(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况C29种，所以共有C512-C29=756种选法.
【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.
【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.
(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法?
(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法?
【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4C46种;第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种;第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C23=3种.故有69种.
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