【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，
∴ ，解得： 。
∴抛物线解析式为 。
当y=2时， ，解得：x1=3，x2=0(舍去)。
∴点D坐标为(3，2)。
(2)A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1(0，2)。
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等，∴P点的纵坐标为﹣2。
代入抛物线的解析式： ，解得： 。
∴P点的坐标为( ，﹣2)，( ，﹣2)。
综上所述：P1(0，2);P2( ，﹣2);P3( ，﹣2)。
(3)存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方。
设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为( )，
①当P点在y轴右侧时(如图1)，CQ=a，
PQ= 。
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，
∴ ，即 ，解得F Q′=a﹣3
∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣(a﹣3)=3，
。
此时a= ，点P的坐标为( )。
②当P点在y轴左侧时(如图2)此时a<0，， <0，CQ=﹣a，
PQ= 。
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°。
∴△COQ′∽△Q′FP。
∴ ，即 ，解得F Q′=3﹣a。
∴OQ′=3， 。
此时a=﹣ ，点P的坐标为( )。
综上所述，满足条件的点P坐标为( )，( )。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】(1)用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标。
(2)分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标。
(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为( )，分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可。
6. (2012湖北宜昌12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a(x﹣m)2+n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3(1﹣ )a.
(1)求点A的坐标和∠ABO的度数;
(2)当点C与点A重合时，求a的值;
(3)点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切?
【答案】解：(1)当x=0时，y=1;当y=0时，x=﹣ ，
∴OA=1，OB= 。∴A的坐标是(0，1)。
∴tan∠ABO= 。∴∠ABO=30°。
(2)∵△CDE为等边三角形，点A(0，1)，∴tan30°= ，∴OD= 。
∴D的坐标是(﹣ ，0)，E的坐标是( ，0)，
把点A(0，1)，D(﹣ ，0)，E( ，0)代入 y=a(x﹣m)2+n，得
，解得 。∴a=﹣3。
(3)如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足。
∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30°，
∴∠BCE=90°，∠ECN=90°。
∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°。∴四边形MPCN为矩形。
∵MP=MN，∴四边形MPCN为正方形。
∴MP=MN=CP=CN=3(1﹣ )a(a<0)。
∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ。
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°。∴∠EMQ，=30°。
∴在Rt△MEP中，tan30°= ，∴PE=( ﹣3)a。
∴CE=CP+PE=3(1﹣ )a+( ﹣3)a=﹣2 a。
∴DH=HE=﹣ a，CH=﹣3a，BH=﹣3 a。
∴OH=﹣3 a﹣ ，OE=﹣4 a﹣ 。
∴E(﹣4 a﹣ ，0)，C(﹣3 a﹣ ，﹣3a)。
设二次函数的解析式为：y=a(x+3 a+ )2﹣3a，
∵E在该抛物线上，∴a(﹣4 a﹣ +3 a+ )2﹣3a=0，
得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1。
∵a<0，∴a=﹣1。
∴AF=2 ，CF=2，∴AC=4。
∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切。
【考点】动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，直线与圆相切的性质。
【分析】(1)已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标;令y=0，能得到B点坐标;在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的值。
(2)当C、A重合时，可知点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值。
(3)作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标;那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标.然后利用C、E的坐标确定a的值，从而可求出AC的长，由此得解。
7. (2012湖北咸宁12分)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0，4)，动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转 ，得到线段AB.过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D.运动时间为t秒.
(1)当点B与点D重合时，求t的值;
(2)设△BCD的面积为S，当t为何值时， ?
(3)连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线 的顶点在△ABM内部(不包括边)，求a的取值范围.
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