【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。
【分析】(1)由Rt△CAO∽Rt△ABE得到 ，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1•t= t，BE(DE)=OC=4，即可求得此时t的值。
(2)分0< <8和 >8两种情况讨论即可。
(3)求出抛物线 的顶点坐标为(5， )，知它的顶点在直线 上移动。由抛物线 的顶点在△ABM内部(不包括边)得1< <2，解之即得a的取值范围。
8. (2012湖北十堰6分)阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值.
解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P(x，0)是x轴上一点，则 可以看成点P与点A(0，1)的距离， 可以看成点P与点B(3，2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3 ，即原式的最小值为3 。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点P(x，0)与点A(1，1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式 的最小值为 .
【答案】解：(1)(2，3)。
(2)10。
【考点】坐标与图形性质，轴对称(最短路线问题)。
【分析】(1)∵原式化为 的形式，
∴代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点P(x，0)与点A
(1，1)、点B(2，3)的距离之和。
(2)∵原式化为 的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x，0)与点A(0，7)、点B(6，1)
的距离之和。
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B
间的直线段距离最短。
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度。
∵A(0，7)，B(6，1)，∴A′(0，-7)，A′C=6，BC=8。
∴ 。
9. (2012湖北十堰12分)抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标;
(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M(m，0)是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由.
【答案】解：(1)∵A(-1，0)，C(0，3)在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴ ，解得： 。∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3。
(2)令-x2+2x+3=0，解得x1= -1，x2=3。∴B(3，0)。
设直线BC的解析式为y=kx+b′，则
，解得： 。∴直线BC的解析式为y=-x+3。
设P(a，3-a)，则D(a，-a2+2a+3)，
∴PD=(-a2+2a+3)-(3-a)=-a2+3a。
∴
。
∴当 时，△BDC的面积最大，此时P( ， )。
(3)由(1)，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴E(1，4)。
∴OF=1，EF=4，OC=3。
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1。
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH。∴ 。
设FN=n，则NH=3-n，
∴ ，即n2-3n-m+1=0，
∵关于n的方程有解，△=(-3)2-4(-m+1)≥0，
得m≥ ，
当M在EF右侧时，
Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°。
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°。
∵FM=EF=4，∴OM=5。即N为点E时，OM=5。∴m≤5。
综上所述，m的变化范围为： ≤m≤5。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，直角三角形的性质。
【分析】(1)由y=-x2+bx+c经过点A(-1，0)，C(0，3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的
解析式。
(2)令-x2+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即
可求得直线BC的解析式。再设P(a，3-a)，即可得D(a，-a2+2a+3)，即可求得PD的长，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC ，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标。
(3)过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分
析求解即可求得答案。
10. (2012湖北鄂州12分)已知：如图一，抛物线 与x轴正半轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，直线 经过A、C两点，且AB=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线
段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，(如图2);当点P
运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ;设 ，当
t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。
(3)在(2)的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在，求t
的值;若不存在，请说明理由。
【答案】解：(1)在 中，由x=0得y=-2，∴C(0，-2)。
由 y=0得 x=2，∴A(2，0)。
∵AB=2，∴B(4，0)。
∴可设抛物线的解析式为 ，代入点C(0，-2)得 。
∴抛物线的解析式为 。
(2)由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t。
∵ED∥BA，∴△CED∽△COB。 ∴ ，即 。∴ED=2t。
∴ 。
∴当t=1时， 有最大值1。
∴当t=1时， 的值最小，最小值是1。
(3)存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B(4，0)，C(0，-2)得
，解得 ，∴C所在直线的解析式为 。
由题意可得：D点的纵坐标为t-2，则D点的横坐标为2t。
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