∵BE=2AE,∴BF=4AF。
又∵AD∥BC,∴△FAD∽△FBC。∴ 。
设S△FAD=x,S△FBC=16x,S△BCE=S△FEC=8x,∴S四边形AECD=7x。
∵四边形AECD的面积为1,∴7x=1,∴x= 。
∴梯形ABCD的面积为:S△BCE+S四边形AECD=15x= 。
6.(内蒙古乌兰察布4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC = 90 , AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心,以 的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截 去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为 ▲ cm (结果保留π)
【答案】 。
【考点】直角三角形两锐角的关系,勾股定理,扇形的面积。
【分析】由题意可知,阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。
三角形面积为 。
由勾股定理,得AC=10,圆半径为5。
∵在Rt△ABC中,∠ABC = 90 ,∴∠A+∠C =90 。
∴两个扇形的面积的和为半径5,圆心角90 的扇形的面积,即四分之一圆的面积 。
∴阴影部分的面积为 cm 。
7.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车 如图,它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8 和 10 ,大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .(不考虑其它因素)
【答案】 。
【考点】解直角三角形的应用,锐角三角函数定义。
【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为点D。由锐角三角函数定义,得
BC=BD-CD= 。
4.解答题
1.(北京5分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE=FC.
【答案】证明:∵BE∥DF,∴∠ABE=∠D。
在△ABC和△FDC中 ,
∴△ABC≌△FDC(ASA)。
∴AE=FC.
【考点】平行线的性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D,由已知用ASA判定△ABC≌△FDC,再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。
2.(北京5分)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的长.
【答案】解:(1)证明:连接AE。∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°。
∴∠1+∠2=90°。
∵AB=AC,∴∠1= ∠CAB。
∵∠CBF= ∠CAB,∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。
∵AB是⊙O的直径,∴直线BF是⊙O的切线。
(2)过点C作CG⊥AB于点G。
∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,∴sin∠1= 。
∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB•sin∠1= 。
∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2 。
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2 ,∴sin∠2= ,cos∠2= 。
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3。
∵GC∥BF,∴△AGC∽△BFA。∴ 。∴ 。
【考点】切线的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABE=90°。
(2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用对应边的比求得线段的长即可。
3.(北京5分)阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .
【答案】解:△BDE的面积等于1。
(1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。
(2)连接EF,PE,则△CFP可公割成△PEF,△PCE和△EFC。
∵四边形BEPF是平行四边形,∴△PEF≌△BFE。
又∵E,F是AC,AB的中点,∴△BFE的底和高都是△ABC的一半。
∴△BFE的面积是△ABC的 ,即△PEF的面积是△ABC的 。
同理,△PCE和△EFC的面积都是△ABC的 。
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于 。
【考点】平移的性质,三角形的面积,尺规作图。
【分析】根据平移可知,△ADC≌△ECD,且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等,即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。
(1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P,得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。
(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等,对应角相等。结合图形知以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的 。
4.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC ( 取l.73.结果保留整数).
【答案】解:根据题意,AB=10,如图,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。
在Rt△ADB中,∵ ∠BAD=300,∴ 。
在Rt△CDB中, 。
答:此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】要求BC的长,就要把它作为直角三角形的边,故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D,形成两个直角三角形,利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。
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