∵BE=2AE，∴BF=4AF。
又∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC。∴ 。
设S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，∴S四边形AECD=7x。
∵四边形AECD的面积为1，∴7x=1，∴x= 。
∴梯形ABCD的面积为：S△BCE+S四边形AECD=15x= 。
6.(内蒙古乌兰察布4分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90 , AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以 的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截 去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为 ▲ cm (结果保留π)
【答案】 。
【考点】直角三角形两锐角的关系，勾股定理，扇形的面积。
【分析】由题意可知，阴影部分的面积为三角形面积减去两个扇形面积。
三角形面积为 。
由勾股定理，得AC=10，圆半径为5。
∵在Rt△ABC中，∠ABC = 90 ,∴∠A+∠C =90 。
∴两个扇形的面积的和为半径5，圆心角90 的扇形的面积，即四分之一圆的面积 。
∴阴影部分的面积为 cm 。
7.(内蒙古乌兰察布4分)某厂家新开发的一种电动车 如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 8 和 10 ，大灯A与地面离地面的距离为lm则该车大灯照亮地面的宽度BC是 ▲ m .(不考虑其它因素)
【答案】 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D。由锐角三角函数定义，得
BC=BD-CD= 。
4.解答题
1.(北京5分)如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.求证：AE=FC.
【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D。
在△ABC和△FDC中 ，
∴△ABC≌△FDC(ASA)。
∴AE=FC.
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。
2.(北京5分)如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB.
(1)求证：直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长.
【答案】解：(1)证明：连接AE。∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。
∴∠1+∠2=90°。
∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB。
∵∠CBF= ∠CAB，∴∠1=∠CBF。∴∠CBF+∠2=90°。即∠ABF=90°。
∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线。
(2)过点C作CG⊥AB于点G。
∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，∴sin∠1= 。
∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1= 。
∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2 。
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2 ，∴sin∠2= ，cos∠2= 。
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3。
∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA。∴ 。∴ 。
【考点】切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】(1)连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°。
(2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用对应边的比求得线段的长即可。
3.(北京5分)阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .
【答案】解：△BDE的面积等于1。
(1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。
(2)连接EF，PE，则△CFP可公割成△PEF，△PCE和△EFC。
∵四边形BEPF是平行四边形，∴△PEF≌△BFE。
又∵E，F是AC，AB的中点，∴△BFE的底和高都是△ABC的一半。
∴△BFE的面积是△ABC的 ，即△PEF的面积是△ABC的 。
同理，△PCE和△EFC的面积都是△ABC的 。
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于 。
【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。
【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。
(1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。
(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的 。
4.(天津8分)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300 m.在一处测得望海校B位于A的北偏东30°方向.游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C.在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向.求此时游轮与望梅楼之间的距离BC ( 取l.73.结果保留整数).
【答案】解：根据题意，AB=10，如图，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D。
在Rt△ADB中，∵ ∠BAD=300，∴ 。
在Rt△CDB中， 。
答：此时游轮与望梅楼之间的距离约为173 m。
【考点】解直角三角形的应用。
【分析】要求BC的长，就要把它作为直角三角形的边，故辅助线过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D，形成两个直角三角形，利用三角函数解直角三角形先求BD再求出BC。
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