5.(山西省7分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 (即AB：BC= )，且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).
【答案】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形。∴AF=BE，EF=AB=2。
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE= ，
在Rt△ABC中，∵ AB：BC= ，AB=2，∴BC= 。
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2，∴AF= 。
∵AF=BE=BC+CE，∴ ，解得x=6。
答：树DE的高度为6米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角、坡度坡角问题)，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。。
【分析】通过构造直角三角形分别表示出BC和AF，得到有关的方程求解即可。
6.(山西省9分)如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
(1)求证：CE=CF.
(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示.试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠CFA=90°-∠CAF。
∵CD⊥AB，∴∠CEF=∠AED=90°-∠EAD。
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD。∴∠CFA=∠CEF。∴CE=CF。
(2)BE′与CF相等。证明如下：
如图，过点E作EG⊥AC于G。
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG。
由平移的性质可知：D’E’=DE，∴D’E’ =GE。
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°。
∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB=90°。∴∠ACD=∠B。
在Rt△CEG与Rt△BE’D’中，
∵∠GCE=∠B，∠CGE=∠BD’E’，CE=D’E’，∴△CEG≌△BE’D’(AAS)。∴CE=BE’。
由(1)CE=CF，得CF=BE’。
【考点】三角形两锐角的关系，对顶角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)要证CE=CF，根据等腰三角形等角对等边的判定，只要∠CFA=∠CEF即可。由已知，知∠CFA与∠CAF互余，∠CEF=∠AED与∠EAD互余，而AF平分∠CAB。从而∠CAF=∠EAD。得证。
(2)由角的等量关系转换和平移的性质，根据AAS证得△CEG≌△BE’D’，即可根据全等三角形的对应边相等的性质得到CE=BE’。由(1)的结论即可得到CF=BE’。
7.(内蒙古呼和浩特6分)在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
【答案】解：如图，作CD⊥AB于点D.
在Rt△CDA中，∵AC=30，
∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°，
∴CD=AC•sin∠CAD=30•sin60°=15 ，
AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15。
在Rt△CDB中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2，
∴BD= 。
∴AB=BD﹣AD=65﹣15=50。
答：A，B两个凉亭之间的距离为50m。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】构造直角三角形，过C点作CD⊥AB于点D，先在Rt△CDA中应用锐角三角函数求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，从而由AB=BD﹣AD即得A，B两个凉亭之间的距离。
8.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分)如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测到空投地点C的俯角α=60°，测到地面指挥台β的俯角=30°，已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度(结果保留根号).
【答案】解：作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵EA∥BC，∴∠ABC=β=30°。
又∵∠BAC=α-β=30°，∴∠ABC=∠BAC。
∴AC=BC=2000。
∴在Rt△ACD中，
AD= AC•cos∠CAD=AC•cos300=1000 。
答：此时飞机的高度为1000 米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，平行的性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 由平行线内错角相等的性质和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，从而在Rt△ACD中应用锐角三角函数即可求得此时飞机的高度。
9.(内蒙古包头8分)一条船上午8点在A处望见西南方向有一座灯塔B，此时测得船和灯塔相距362海里，船以每小时20海里的速度向南偏西24°的方向航行到C处，此时望见灯塔在船的正北方向.(参考数据sin24°≈0.4，cos24°≈0.9)
(1)求几点钟船到达C处;
(2)当船到达C处时，求船和灯塔的距离.
【答案】解：(1)延长CB与AD交于点E.∴∠AEB=90°，
∵∠BAE=45°，AB=362，∴BE=AE=36。
根据题意得：∠C=24°，sin24°= ，
∴AC= 。
∴90÷20=4.5。
∴8+4.5=12.5。
∴12点30分船到达C处。
(2)在直角三角形ACE中，cos24°= ，即cos24°= ，
∴BC=45。
∴船到C处时，船和灯塔的距离是45海里。
【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数。
【分析】(1)要求几点到达C处，需要先求出AC的距离，根据时间=距离除以速度，从而求出解.
(2)船和灯塔的距离就是BC的长，作出CB的延长线交AD于E，根据直角三角形的角，用三角函数可求出CE的长，减去BE就是BC的长.
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