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高二数学教案第一单元：排列与组合

[10-20 00:48:13]   来源：http://www.kmf8.com  高二数学教案   阅读：8515次
概要： 【摘要】鉴于大家对www.kmf8.com十分关注，小编在此为大家整理了此文“高二数学教案第一单元：排列与组合”，供大家参考!本文题目：高二数学教案第一单元：排列与组合一、知识网络 二、高考考点1、两个计数原理的掌握与应用;2、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两个性质的掌握;3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与组合的混合问题)三、知识要点一.分类计数原理与分步计算原理1 分类计算原理(加法原理)：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。2 分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…&ti
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【摘要】鉴于大家对www.kmf8.com十分关注，小编在此为大家整理了此文“高二数学教案第一单元：排列与组合”，供大家参考!

本文题目：高二数学教案第一单元：排列与组合

一、知识网络 二、高考考点

1、两个计数原理的掌握与应用;

2、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公式的掌握;关于组合数两个性质的掌握;

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与组合的混合问题)

三、知识要点

一.分类计数原理与分步计算原理

1 分类计算原理(加法原理)：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。

2 分步计数原理(乘法原理)：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×…× mn种不同的方法。

3、认知：

上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事;乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成(在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事)。

二.排列

1 定义

(1)从n个不同元素中取出m( )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

(2)从n个不同元素中取出m( )个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 .

2 排列数的公式与性质

(1)排列数的公式： =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= 　　特例：当m=n时， =n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1

规定：0!=1

(2)排列数的性质：

(Ⅰ) = (排列数上标、下标同时减1(或加1)后与原排列数的联系)

(Ⅱ) (排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系)

(Ⅲ) (分解或合并的依据)

三.组合

1 定义　(1)从n个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

(2)从n个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示。

2 组合数的公式与性质

(1)组合数公式： (乘积表示)　 (阶乘表示)　　特例： 　　(2)组合数的主要性质：

(Ⅰ) 　　 (上标变换公式)

(Ⅱ) 　　 (杨辉恒等式)

认知：上述恒等式左边两组合数的下标相同，而上标为相邻自然数;合二为一后的右边组合数下标等于左边组合数下标加1，而上标取左边两组合数上标的较大者。

3 比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

(1) 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

(2) 注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 　　四、经典例题

例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是(　　　　 )

A .5种　　　　　　 B.6种　　　　　　 C. 7种　　　　 D. 8种

分析：依题意“软件至少买3片，磁盘至少买2盒”，而购得3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，只需讨论剩下的180元如何使用的问题。

解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：　第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法;　　第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法;

第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法; 第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法;　　于是由分类计数原理可知，共有N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。

例2、已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射 ，当x∈M时， 为奇数，则这样的映射 的个数是(　　 )　　A.20　　　　 B.18　　　　 C.32　　　　 D.24

分析：由映射定义知，当x∈M时， 　　当x∈M时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但 必须为奇数，因此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察：

第一步，考察x=-1的象，当x=-1时， ，此时 可取N中任一数值，即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法;

第二步，考察x=0的象，当x=0时， 为奇数，故 只有2种取法( =3或 =5)，即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法;

第三步，考察x=1的象，当x=1时， 为奇数，故 可为奇数也可为偶数, 可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射 共有4×2×4=32个。

例3、在 中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法?

解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。

第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，　故此时有N1=5×4×4=80种不同涂法。

第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。　　综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。

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