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高二数学教案第一单元：排列与组合

[10-20 00:48:13]   来源：http://www.kmf8.com  高二数学教案   阅读：8515次
概要： 点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A.6种 B.9种C.11种 D.23种解法一(采用“分步”方法)：完成这件事分三个步骤。第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法;第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法;第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法;于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法。解法二：(采用“列举”方法)：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法： 2413 2143 2341第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法：
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点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。

例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有(　　 )　A.6种　　　　　　 B.9种　　　　C.11种　　　　 D.23种

解法一(采用“分步”方法)：完成这件事分三个步骤。

第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法;

第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法;

第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法;

于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法。

解法二：(采用“列举”方法)：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。

第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法： 　　 　　 2413　　 2143　　 2341

第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法： 　　 　　 3142　　 3412　　 3421

第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法： 　　 　　 4123　　 4312　　 4321

于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B

解法三(间接法)：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4×3×2×1=24种不同填法，其中不合条件的是　(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种;　(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种;

(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种;　因此，有数字与格子编号相同的填法共有N2=1+6+8=15种

于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。

点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。

当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数—不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数。

在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。

例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个?

解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。

第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有 种;进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有 种排法，于是由分步计数原理可知，不含0且符合条件的四位数共有 =36个。

第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进行全排列，这样的排列共有 个。

其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：

(1)0在首位的，有 个;　(2)0在百位或十位，但2与3相邻的，有 个

(3)0在个位的，但2与3相邻的，有 个

因此，含有0的符合条件的四位数共有 =30个

于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66个

点评：解决元素不相邻的排列问题，一般采用“插空法”，即先将符合已知条件的部分元素排好，再将有“不相邻”要求的元素插空放入;解决元素相邻的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先将要求相邻的元素“捆绑”在一起，作为一个大元素与其它元素进行排列，进而再考虑大元素内部之间的排列问题。

例6、某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的，那么该人射击的8枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有(　　 )

A.720种　　　　 B.480种　　　　 C.24种　　　　 D.20种

分析：首先，对未命中的4枪进行排列，它们形成5个空挡，注意到未命中的4枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2个排进去，有 种排法，于是由乘法原理知，不同的报告结果菜有 种

点评：这里的情形与前面不同，按照问题的实际情况理解，未命中的4枪“地位平等”，连续命中的3枪亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一种，第二步的排法种数也不再乘以 。解决此类“相同元素”的排列问题，切忌照搬计算相同元素的排列种数的方法，请读者引起注意。

例7、

(1) 　　　　　　　　　　　　 ;

(2)若 ，则n=　　　　　　　　　　　　;

(3) 　　　　　　　　　　　　　　 ;

(4)若 ，则n的取值集合为　　　　　　　　　　　　 ;

(5)方程 的解集为　　　　　　　　　　　　 ;

解：

(1)注意到n满足的条件 ∴原式= = 　　(2)运用杨辉恒等式，已知等式

所求n=4。

(3)根据杨辉恒等式 　　原式= = 　　= 　= 　　(4)注意到这里n满足的条件n≥5且n∈N*　　　　 ①

在①之下，

原不等式　 　　 　　 　　 　　②

∴由①、②得原不等式的解集为{5，6，7，…，11}

(5)由 注意到当y=0时， 无意义，原方程组可化为

由此解得 　　经检验知 是原方程组的解。

例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种?

解：符合条件的取法可分为6类

第一类：取出的5张卡片中，1张红色，1张黄色，3张绿色，有 种取法;

第二类：取出的5张卡片中，1张红色，2张黄色，2张绿色，有 种取法;

第三类：取出的5张卡片中，1张红色，3张黄色，1张绿色，有 种取法;

第四类：取出的5张卡片中，2张红色，1张黄色，2张绿色，有 种取法;

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