第五类：取出的5张卡片中，2张红色，2张黄色，1张绿色，有 种取法;
第六类：取出的5张卡片中，3张红色，1张黄色，1张绿色，有 种取法;
于是由分类计数原理知，符合条件的取法共有
点评：解决本题的关键在于分类，分类讨论必须选择适当的分类标准，在这里，以红色卡片选出的数量进行主分类，以黄色卡片选出的数量进行次分类，主次结合，确保分类的不重不漏，这一思路值得学习和借鉴。
例9、 (1)从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少?
(2)设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中(每个盒子中放一个小球)，则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种?
(3)将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种?
(4)某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种?
解：
(1)满足要求的取法有两类，一类是取出的4只袜子中恰有2只配对，这只要从5双袜子中任取1双，再从其余4双中任取2双，并从每双中取出1只，共有 种选法;另一类是4只袜子恰好配成两双，共有 种选法，于是由加法原理知，符合要求的取法为 种。
(2)符合条件的放法分为三类：
第一类：恰有2个小球与盒子编号相同，这只需先从5个中任取两个放入编号相同的盒子中，有 种放法，再从剩下的3个小球中取出1个放入与其编号不同的盒子中，有 种方法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有1种放法，故此类共有 种不同方法;
第二类：恰有3个小球与盒子编号相同，这只需先从5个中任取三个放入编号相同的盒子中，有 种放法，则最后剩下的两个小球放入编号不同的盒中只有1种放法，故此类共有 种不同方法;
第三类：恰有5个小球与盒子编号相同，这只有1种方法; 于是由分类计数原理得，共有N=20+10+1=31种不同方法。
(3)设计分三步完成：
第一步，取定三个空盒(或取走一个空盒)，有 种取法;
第二步，将4个小球分为3堆，一堆2个，另外两堆各一个，有 种分法;
第三步，将分好的3堆小球放入取定的3个空盒中，有 种放法;
于是由乘法原理得共有： 种不同方法。
(4)分两步完成：
第一步，安排第五次测试，由于第五次测试测出的是次品，故有 种方法;
第二步，安排前4次测试，则在前四次测试中测出3只次品和1只正品的方法种数为 。
于是由分布计数原理可知，共有 种测试方法。
点评：为了出现题设条件中的“巧合”，我们需要考虑对特殊情形的“有意设计”，本例(1)则是这种“有意设计”的典型代表，而这里的(3)，则是先“分堆”后“分配”的典型范例。
五、高考真题
(一)选择题
1、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )
A、18对 B、24对 C、30对 D、36对
分析：注意到任一四面体中异面直线的对数是确定的，所以，这里欲求异面直线的对数，首先确定上述以单直线可构成的四面体个数。由上述15条直线可构成 个四面体，而每一四面体有3对异面直线，故共有36对异面直线，应选D。
2、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有( )
A、3个 B、4个 C、6个 D、7个
分析：不共面的四点可构成一个四面体，取四面体各棱中点，分别过有公共顶点的三棱中点可得到与相应底面平行的4个截面，这4个截面到四个定点距离相等;又与三组对棱分别平行且等距的平面有3个，故符合条件的平面共7个，应选D。
3、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A、 B、 C、 D、 分析：排班工作分三步完成：
第一步，从14人中选出12人，有 种选法;第二步，将第一步选出的12人平均分成三组，有 种分法;
第三步，对第二步分出的3组人员在三个位置上安排，有 种排法;
于是由乘法原理得不同的排班种数为 ，应选A
4、从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市各一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )
A、300种 B、240种 C、114种 D、96种
分析：注意到甲、乙两人不去巴黎，故选人分三类情况
(1)不选甲、乙，不同方案有 种;(2)甲、乙中选1人，不同方方案有 种;
(3)甲、乙均入选，不同方案有 种;于是由加法原理得不同的方案总数为24+144+72=240，应选B。
5、4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分;选乙题答对得90分，答错得-90分，若4位同学的总分为0，则这四位同学不同的得分情况的种数是( )
A、48 B、36 C、24 D、18
分析：注意到情况的复杂，故考虑从“分类”切入
第一类：四人全选甲题，2人答对，2人答错，有 种情况;
第二类：2人选甲题一对一错，2人选乙题一对一错，有 种情况;
第三类：四人全选乙题，2对2错，有 种情况。
于是由加法原理得不同得分情况共有 种，应选B。
6、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )
A、96 B、48 C、24 D、0 分析：本题的关键是找“异面直线对”的个数，设四棱锥为S-ABCD，没有公共顶点的棱只能分成4组，每组两条棱(否则三条棱必有公共点)，每8条棱分成4组，每组两条无公共点的棱仅有下面两种情况：
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