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初一奥数期末自测题(五)及答案解析
1.一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间.
2.已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2+(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5+(200-1)×4，
它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项?
3.求x3-3px+2q能被x2+2ax+a2整除的条件.
4.证明不等式
5.若两个三角形有一个角对应相等.求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比.
6.已知(x-1)2除多项式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1，试求a，b的值.
7.今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形?
8.平面上有10条直线，其中4条是互相平行的.问：这10条直线最多能把平面分成多少部分?
9.边长为整数，周长为15的三角形有多少个?
答案解析：
1.设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件.依题意得
解之得
总件数
xy=8×15=120(件)，
即计划用15天完工，工作的件数为120件.
2.第一列数中第n项表示为2+(n-1)×3，第二列数中第m项表示为5+(m-1)×4.要使
2+(n-1)×3=5+(m-1)×4.
所以
因为1≤n≤200，所以
所以 m=1，4，7，10，…，148共50项.
3.
x3-3px+2q被x2+2ax+a2除的余式为
3(a2-p)x+2(q+a3)，
所以所求的条件应为
4.令
因为
所以
5.如图1-106(a)，(b)所示.△ABC与△FDE中，
∠A=∠D.现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE'，DF=AF'，连结F'B.此时，△AE'F'的面积等于三角形DEF的面积.
①×②得
来
6.不妨设商式为x2+α·x+β.由已知有
x4+ax3-3x2+bx+3
=(x-1)2(x2+α·x+β)+(x+1)
=(x2-2x+1)(x2+α· x+β)+x+1
=x4+(α-2)x3+(1-2α+β)x2
+(1+α-2β)x+β+1.
比较等号两端同次项的系数，应该有
只须解出
所以a=1，b=0即为所求.
7.因为
所以正方形的边长≤11.
下面按正方形边的长度分类枚举：
(1)边长为11：
9+2=8+3=7+4=6+5，
可得1种选法.
(2)边长为10：
9+1=8+2=7+3=6+4，
可得1种选法.
(3)边长为9：
9=8+1=7+2=6+3=5+4，
可得5种选法.
(4)边长为8：
8=7+1=6+2=5+3，
可得1种选法.
(5)边长为7：
7=6+1=5+2=4+3，
可得1种选法.
(6)边长≤6时，无法选择.
综上所述，共有
1+1+5+1+1=9
种选法组成正方形.
8.先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成
2+2+3+4+5+6=22个部分.
现在加入平行线.加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分.加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分.因此，这些直最多将平面分成
22+7×4=50
个部分.
9.不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c.由b+c>a，a+b+c=15，a≥b≥c可得，15=a+(b+c)>2a，所以a≤7.又15=a+b+c≤3a，故a≥5.于是a=5，6，7.当a=5时，b+c=10，故b=c=5;当a=b时，b+c=9.于是b=6，c=3，或b=5，c=4;当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4.
所以，满足题意的三角形共有7个.
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