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初一奥数期末自测题(一)及答案解析
甲多开支100元，三年后负
债600元.求每人每年收入多少?
S的末四位数字的和是多少?
4.一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程.
5.求和
6.证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数.
8.若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除.
9.如图1-95所示.在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点.求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半.
答案解析：
所以 x=5000(元).
所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24.
3.因为
时，a-b≥0，即a≥b.即当b≥a>0或b≤a<0时，等式成立.4.设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米.依题意则
有
由②有 2x+y=20， ③
由①有y=12-x.将之代入③得
2x+12-x=20.
所以 x=8(千米)，于是y=4(千米).
5.第n项为
所以
6.设p=30q+r，0≤r<30.因为p为质数，故r≠0，即0
7.设
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q).
可知m<4.由①，m>0，且为整数，所以m=1，2，3.下面分别研究p，q.
(1)若m=1时，有
解得p=1，q=1，与已知不符，舍去.
(2)若m=2时，有
因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解.
(3)若m=3时，有
解之得
故 p+q=8.
8.因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由题设，9|(x2+xy+y2)，所以3|(x2+xy+y2)，从而3|(x-y)2.因为3是质数，故3|(x-y).进而9|(x-y)2.由上式又可知，9|3xy，故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x，结合3(x-y)，便得3|y;若3|y，同理可得，3|x.
9.连结AN，CN，如图1-103所示.因为N是BD的中点，所以
上述两式相加
另一方面，
S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.
因此只需证明
S△AND=S△CNP+S△DNP.
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP.
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.
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