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初一奥数期末自测题(三)及答案解析
1.解关于x的方程
2.解方程
其中a+b+c≠0.
3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和.
4.液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72%，求桶的容量.
5.满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个?这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3.
6.设P是△ABC内一点.求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围.
7.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离.
8.黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2?
9.设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且
求证：n是4的倍数.
答案解析：
1.化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
当a≠1时，
2.将原方程变形为
由此可解得
x=a+b+c.
3.当x=1时，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1.
即所求展开式中各项系数之和为1.
依题意得
去分母、化简得
7x2-300x+800=0，
即 (7x-20)(x-40)=0，
5.若n为整数，有[n+x]=n+[x]，所以
[-1.77x]=[-2x+0.23x]
=-2x+[0.23x].
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0.
又因为x为自然数，所以0≤0.23x<1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个.
6.如图1-105所示.在△PBC中有
BC
延长BP交AC于D.易证
PB+PC
由①，②
BC
同理
AC
AB
③+④+⑤得
AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA).
所以
来
7.设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米.依题意得
由①得
16y2=9x2， ③
由②得16y=24+9x，将之代入③得
即 (24+9x)2=(12x)2.
解之得
于是
所以两站距离为
9×8+16×6=168(千米).
8.答案是否定的.对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数.以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数.
。
又因为
所以，k是偶数，从而n是4的倍数.
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