解 证(3)以 A为起点作AB′→ =OB→ ，以 B′为起点作B′C′→ =OC→ ，以C′为起点作C′D′→ =OD→ ，以D′为起点作D′E′→ =OE→ .
∵∠AOB=72º，
∴∠OAB′=108º.
同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108º，故∠D′E′A=108º.
|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，
故 E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.
OA→ +OB→ +OC→ +OD→ +OE→ =OA→ +AB′→ +B′C′→ +C′D′→ +D′E′→ =0.
正三角形，正方形、正n边形可类似获证.
点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况;面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA→ +OB→ 与OC→ +OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.
【知能集成】
1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.
2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.
3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.
【训练反馈】
1.下列各式正确的是： ( )
A.∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣ B. a+b∣>∣a∣+∣b∣
C.∣a+b∣>∣a-b∣ D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣
2.下面式子中不能化简成AD→ 的是 ( )
A.OC→ -OA→ +C D→ B.PB→ -DA→ -BP→
C.AB→ -DC→ +BC→ D.(AD→ -BM→ )+(BC→ -MC→ )
3.正方形ABCD的边长为1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，则a+b+c、a-b+c、-a-b+ c 的摸分别等于 .
4.设a、b 为已知向量，若3x+4y=a，2x-3y=b ， 则 x= .
y= .
5. 已知 e1、e2 不共线，AB→ =2e1+ke2，CB→ =e1+3e2，C D→ =2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .
6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为 ( )
A.-b，-b-a，-a B. b，-a，b-a
C.-b，a，a-b D.-b，-a，a+b
7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→ = ，则P在 ( )
A.∠AOB的平分线所在直线上 B. 线段AB的中垂线上
C. AB边所在的直线上 D. AB边的中线上.
9.设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P
为任意点，求证：
PA1→ +PA2→ +PA3→ +…+PAn→ =nPO→ .
10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶
BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，
则 OP→ ，OQ→ .
11.P为△ABC所在平面内一点，PA→ +PB→ +PC→ =0 ，则P为△ABC的 ( )
A.重心 B.垂心 C. 内心 D.外心
12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF→ = (AB→
+DC→ ).
第30课 向量的坐标运算
【考点指津】
1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.
2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.
3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行(共线)的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.
【知识在线】
1. 若向量a的起点坐标为 (-2，1)，终点坐标为(2，-1)，则向量a的坐标为
2.若O为坐标原点，向量a=(-3，4)，则与a共线的单位向量为
3.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，则a+b与a-b的坐标分别为 ( )
A.(0，0)，(-2，4) B.(0，0)，(2，-4)
C.(-2，4)，(2，-4) D.(1，-1)，(-3，3)
4.若向量a=(x-2，3)，与向量b=(1，y+2)相等，则 ( )
A. x=I，y=3， B. x=3，y=1
C. x=1，y=-5 D. x=5，y=-1
5.已知A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M、N分别为DC、AB的中点.
(1) 求证四边形ABCD为平行四边形;
(2) 试判断AM→ 、CN→ 是否共线?为什么?
【讲练平台】
例1 已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行?
分析 已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.
解 由已知a=(1，2)，b=(-3，2)， 得
a-3b=(10，-4)， ka+b=(k-3，2k+2).
因(ka+b)∥(a-3b)，
故10(2k+2)+4(k-3)=0.
得k=- .
点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标;其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.
向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.
例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.
分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d(x，y)的方程组，不难求得x、y.
简解 设向量d的坐标为(x，y)，由2a+(-b+ c)+4(c-a)+d=0，
可解得d=(-9，23).
点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.
例3 已知平面上三点P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.
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