∴AB→ •BC→ =-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3× =-9.
(2)解法一 a-2b=(3，-4)-2(2，1)=(-1，-6)，
2a-3b=2(3，-4)+3(2，1)=(12，-5)，
(a-2b)•(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.
解法二 (a-2b)•(2a+3b)=2a2-a•b-6b2
=2[32+(-4)2]-[3×2+(-4)×1]-6(22+12)=18.
点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.
值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，(1)中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.
从第(2)问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a•(b+c)=a•b+b•c，而(a•b)c≠a(b•c).
例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .
分析 要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ •OC→ =0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→ =AO→ +OB→ 代换，于是只需证AO→ •OC→ =BO→ •OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.
证明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+(BO→ +OC→ )2=OB→ 2+(CO→ +OA→ )2，整理得AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ，即 OC→ •(BO→ +OA→ )=0，
故 OC→ •AB→ =0.所以 AB→ ⊥OC→ .
点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.
例3.设OA→ =a=( +1， -1)，OB→ =b=( ，3)，试求∠AOB及ΔAOB的面积.
分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a•b，进而求得∠AOB(即a与b的夹角)，在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sinθ求面积.
解 设∠AOB=θ，ΔAOB的面积为S，由已知得：
∣OA→ ∣=∣a∣= =2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，
∴cosθ= = = .∴θ= .
又S= ∣a∣∣b∣sinθ= •2 =2 ，
即∠AOB= ，ΔAOB的面积为2 .
点评 向量的数量积公式a•b=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).
变题 设ΔABC的面积为S，AB→ =a，AC→ =b，求证S=
例4.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.
分析 要求夹角θ，必需求出cosθ;求cosθ需求出a•b与∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值).由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a•b的关系.
解 ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，
∴ (a+3b)•(7a-5b)=0，
(a-4b)•(7a-2b)=0.
即 7a2+16a•b-15b2=0，
7a2-30a•b+8b2=0.
两式相减，得 b2=2a•b.
故 a2=b2 ， 即 ∣a∣=∣b∣.
∴cosθ= = .
∴θ=60º ， a与b的夹角为60º .
点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a•b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.
在本题求解过程中注意，b2=2a•b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.
【知能集成】
基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.
基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.
基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.
【训练反馈】
1. 已知 =5，a与b的夹角的正切值为 ，a•b=12，则b的模为( )
A.4 B.3 C. D.
2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为( )
A.30º B.60º C.120º D.150º
3.已知a=(1，-2)，b=(5，8)，c=(2，3)，则a•(b•c)为 ( )
A.34 B.(34，-68) C .-68 D.(-34，68)
4.边长为 的正三角形ABC中，设AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，则a•b+b•c+c•a等于( )
A. -3 B. 0 C. 1 D. 3
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，当(a+2b)⊥(2a-b)时，实数x的值为 .
6.已知m=(-5，3)，n=(-1，2)，当(λm+n)⊥(2n+m)时，实数λ的值为 .
7.已知|a|=|b|=1，a与b夹角为90º，c=2a+3b，d=ka-4b，且c⊥d，则k=
8.已知A、B、C、D是平面上给定的四个点，则AB→ •CD→ +AC→ •DB→ +AD→ •BC→ = .
9.已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则a与b夹角的余弦值为 .
10.设两向量e1、e2满足| e1|=2，| e2|=1， e1、e2的夹角为60º，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
11.设向量a=(cos23º，cos67º)，b=(cos68º，cos32º)，u=a+tb (t∈R).
(1) 求a•b;
(2) 求u的模的最小值.
12.设a=(1+cosα，sinα)， b=(1-cosβ，sinβ)， c=(1，0)， α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2= ，求sin 的值.
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