第32课 线段的定比分点、平移
【考点指津】
1. 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用.
2. 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式.
3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题.
【知识在线】
1.若P分AB→ 所成的比为 ，则A分BP→ 的比为 ( )
A. B.- C.- D.
2.设点P在线段AB的延长线上，P分AB→ 所成的比为λ，则 ( )
A.λ<-1 B.-1<λ<0 C.0<λ<1 D.λ>1
3.按向量a将点(2，3)平移到(0，1)，则按向量a将点(7，1)平移到点 ( )
A.(9，-3) B.(9，3) C.(5，-1) D.(-5，-3)
4.若函数y=f(1-2x)的图象，按向量a平移后，得到函数y=f(-2x)的图象，则向量a= .
5.设三个向量OA→ =(-1，2)，OB→ =(2，-4)，OC→ 的终点在同一条直线上(O为坐标原点).
(1) 若点C内分AB→ 所成的比为 ，求C点坐标;
(2) 若点C外分AB→ 所成的比为- ，求C点坐标.
【讲练平台】
例1 已知P(1，1)，A(2，3)，B(8，-3)，且C、D顺次为AB的三等分点(C靠近A)，求PC→ 和PD→ 的坐标.
分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC→ ，PD→ .
解 解法一 由题知，点C、D分AB所成的比分别为λ1= ，λ2=2 ，
设C(x，y)，则
即C(4，1)，同理可得D(6，-1).
故PC=(4，1)-(1，1)=(3，0)，PD=(6，-1)-(1，1)=(5，-2).
解法二 因A、B、C、D四点共线，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，
故PC→ =PA→ +AC→ =(2-1，3-1)+ (8-2，-3-3)=(3，0)，
PD→ =PA→ +AD→ =(2-1，3-1)+23 (8-2，-3-3)=(5，-2).
点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程(如横坐标关系式)，只须已知其中三个，可求第四个.对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形.
本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低.
例2 将函数 的图象按向量a平移后得到函数 的图形，求a和实数k.
分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得.
解
令 x′ = x- ，
y′=y- .
原函数解析式变形为y′=- ，
∴ a=(- - )， k=- .
点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.
面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简.
变题 通过平移变换，化简 (ad-bc≠o ， c≠o)，并作出图形.
提示： = ，
令
并记 =k≠0， 则原方程化简为 .
因此，原函数的图象按向量a= 平移后得 的图象，故其图象是以 为中心的，以x= 为渐近线的双曲线.
例3.将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.
分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一.就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+π)，y=2sin(2x-π)等等.因此，向量a不唯一.
要求∣a∣的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于∣a∣的目标函数.
解 向量a不唯一.平移后的图象对应解析式可以为y=2sin(2x+kπ)， k∈Z
考察原函数表达式 ，
可令 (k∈Z)
即 ，
∴ a=(- ，-1)， ( k∈Z)，
| a | (k∈Z).
∴ 当k=2 时，∣a∣取最小值，最小值为 .
点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一.本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力.
例4. 设A(1，1)，B(5，5)，且P在直线AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ?若能，求出P点坐标;若不能;说明理由.
分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需λ∈(0，1).为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于λ的方程，解出λ，检验λ∈(0，1)是否成立.
解 AB→ =(5，5)-(1，1)=(4，4)，
设P(x，y)，则AB→ =λAP→ =λ2 PB→ .
(4，4)=λ2(5-x，5-y)=λ(x-1，y-1)，
且
依据两个方程组的第一个方程，消去x，得
5λ2-λ(4+λ)=4，即λ2-λ-1=0，
∴ λ= .
数形结合知，在AB→ =λAP→ 时，要P落在线段AB的延长线上，则需λ∈(0，1)，所求两个λ的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上.
【知能集成】
基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式.
基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比.
基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算.②用基本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比较观点，确定平移公式.
【训练反馈】
1.点(4，3)关于点(5，-3)的对称点坐标是 ( )
A.(4，-3) B.(6，-9) C.( ，0) D.( 12 ，3)
2.点A(0，m)按向量a平移后得到点B(m，0)，则向量a的坐标是 ( )
A.(m ， m) B.(m ， -m) C.(-m ， m) D.(-m ， -m)
3. 按向量a可把点(2，0)平移到点(-1，2)，则点(-1，2)按向量a平移后得到的点是( )
A.(2，0) B.(-3，2) C.(2，4) D.(-4，4)
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