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高三数学教案：平面向量

[10-20 00:47:15]   来源：http://www.kmf8.com  高三数学教案   阅读：8458次
概要： 分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.简解 设S的坐标为(x，y).(1)当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，若PQ→ =RS→ ，则(3，-1)-(2，1)=(x+1，y-3)，即 (1，-2)=(x+1，y-3)，得S点坐标为(0，1).若PQ→ =SR→ ，则S点坐标为(-2，5).(2)当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，若PR→ =SQ→ ，则S点的坐标为(6，-3).若PR→ =QS→ ，则S点的坐标为(0，1).(3)当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，若PS→ =RQ→ ，则S点的坐标为(6，-3).若PS→ =QR→ ，则S点的坐标为(-2，5).综上所述，S点坐标可以为(0，1)，(6，-3)，(-2，5).点评 本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是
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分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.

简解 设S的坐标为(x，y).

(1)当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，

若PQ→ =RS→ ，则(3，-1)-(2，1)=(x+1，y-3)，

即 (1，-2)=(x+1，y-3)，得S点坐标为(0，1).

若PQ→ =SR→ ，则S点坐标为(-2，5).

(2)当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，

若PR→ =SQ→ ，则S点的坐标为(6，-3).

若PR→ =QS→ ，则S点的坐标为(0，1).

(3)当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，

若PS→ =RQ→ ，则S点的坐标为(6，-3).

若PS→ =QR→ ，则S点的坐标为(-2，5).

综上所述，S点坐标可以为(0，1)，(6，-3)，(-2，5).

点评 本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.

例4 向量PA→ =(k，12)，PB→ =(4，5)，PC→ =(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线.

分析 三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→ =λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.

解 AB→ =PB→ -PA→ =(4-k，-7)，BC→ = PC→ -PB→ =(6，k-5).

当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→ =λBC→ ，将坐标代入，得

4-k=6λ，且 -7=λ(k-5)，

故(4-k)(k-5)=-42.

解得k=11，或k=-2.

点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解(证)同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.

变题 求证：互不重合的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).

证明 必要性(略).

充分性 若(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)，由A、B、C互不重合，得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一个不为零，不妨设x3-x1≠0.令x2-x1=λ(x3-x1)，若λ=0，则x2-x1=0，此时y2≠y1(否则A、B重合).而已知等式不成立，故λ≠0.于是(x3-x1)(y2-y1)=λ(x3-x1)(y3-y1).

因x3-x1≠0 ，故 (y2-y1)=λ(y3-y1).

于是(x2-x1，y2-y1)=λ(x3-x1，y3-y1)，即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 .

又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.

【知能集成】

基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.

基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.

基本思想：将向量等式转化成方程的思想;对几何图形的分类讨论思想.

【训练反馈】

1.若a=(2，3)，b=(4，y-1)，且a∥b，则y= ( )

A.6 B.5 C.7 D. 8

2.已知点B的坐标为(m，n)，AB→ 的坐标为(i，j)，则点A的坐标为 ( )

A.(m-i，n-j) B.(i-m，j-n)

C.(m+i，n+j) D.(m+n，i+j)

3.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x= .

4.已知a=(5，4)，b=(3，2)，则与2a-3b平行的单位向量为

5.有下列说法

① 已知向量PA→ =(x，y)，则A点坐标为(x，y);

② 位置不同的向量，其坐标有可能相同;

③ 已知i=(1，0)，j=(0，1)，a=(3，4)，a=3i-4j ;

④ 设a=(m，n)，b=(p，q)，则a=b的充要条件为m=p，且n=q.

其中正确的说法是 ( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是 ( )

A.a=(-1，2)，b=(0，5) B.a=(1，2)，b=(2，1)

C.a=(2，-1)b=(3，4) D.a=(-2，1)，b=(4，-2)

7.设a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa+qb，则 ( )

A.p=4， q=1 B.p=1， q=-4 C.p=0 ， q=4 D.p=1， q=4

8.设i=(1，0)，j=(0，1)，在平行四边形ABCD中，AC→ =4i+2j，BD→ =2i+6j，则AB→ 的坐标为 .

9.已知3sinβ=sin(2α+β)，α≠kπ+ ，β≠kπ，k∈z，a=(2，tan(α+β))，b=(1，tanα)，求证：a∥b.

10.已知A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标(x，y).

11.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP→ =OA→ +tAB→ .

(1) 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动?

(2) 当t取何值时，点P在y轴上?

(3) OABP能否成为平行四边形?若能求出相应的t值;若不能，请说明理由.

第31课 平面向量的数量积

【考点指津】

1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.

3. 掌握向量垂直的条件.

【知识在线】

1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a•b=-6，则a与b的夹角等于 ( )

A.150º B 120º C.60º D.30 º

2.若a=(-2，1)，b=(1，3)，则2a2-a•b= ( )

A，15 B.11. C.9 D.6

3.已知向量 i=(1，0)，j=(0，1)，则与向量2i+j垂直的一个向量为 ( )

A. 2i-j B. i-2j C. i+j D. i-j

4.已知a=(1，2)，b=(1，1)，c=b-ka，且c⊥a，则C点坐标为

5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60º，∣ka-2b∣=13，求k的值

【讲练平台】

例1 (1)在直角三角形ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，求AB→ •BC→

(2)若a=(3，-4)，b=(2，1)，试求(a-2b)•(2a+3b)

分析 (1)中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式

a•b=|a||b|cosθ求解.

(2)中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a•b，也可求a-2b与2a+3b的坐标，进而用(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2求解.

解(1) 在△ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π-∠ABC，

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